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04免费2000-2012年考研数学三历年真题


2000 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题
一、填空题

1

二、选择题

2

3

4

5

6

7

8

9

2001 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、填空题

10

二、选择题

11

12

13

14

15

16

17

18

2002 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、填空题

19

二、选择题

20

21

22

23

24

25

26

2003 年考研数学(三)真题
一、 填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分. 把答案填在题中横线上)
1 ? ? ? x cos , 若 x ? 0, (1) f ( x ) ? ? 设 其导函数在 x=0 处连续, ? 的取值范围是_____. 则 x 若 x ? 0, ? 0, ?

(2)已知曲线 y ? x ? 3 a x ? b 与 x 轴相切,则 b 可以通过 a 表示为 b ? ________.
3 2
2 2

( 3 ) 设 a>0 , f ( x ) ? g ( x ) ? ?
I ?

? a , 若 0 ? x ? 1, ? 0, 其他 ,

而 D 表 示 全 平 面 , 则

??
D

f ( x ) g ( y ? x ) dxdy =_______.

(4)设 n 维向量 ? ? ( a , 0 , ? , 0 , a ) , a ? 0 ;E 为 n 阶单位矩阵,矩阵
T

A ? E ? ??

T

, B ? E ?

1 a

??

T

其中 A 的逆矩阵为 B,则 a=______. (5)设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 0.9, 若 Z ? X ? 0 . 4 ,则 Y 与 Z 的相关系数为 ________. (6)设总体 X 服从参数为 2 的指数分布, X 1 , X 2 , ? , X n 为来自总体 X 的简单随机样 本,则当 n ? ? 时, Y n ?
1 n

?
i ?1

n

X

2 i

依概率收敛于______.

二、选择题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分. 每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设 f(x)为不恒等于零的奇函数,且 f ? ( 0 ) 存在,则函数 g ( x ) ? (A) 在 x=0 处左极限不存在. (C) 在 x=0 处右极限不存在. (B) 有跳跃间断点 x=0. (D) 有可去间断点 x=0.
f (x) x

[

]

(2)设可微函数 f(x,y)在点 ( x 0 , y 0 ) 取得极小值,则下列结论正确的是 (A) f ( x 0 , y ) 在 y ? y 0 处的导数等于零. (B) f ( x 0 , y ) 在 y ? y 0 处的导数大于零. (C)
f ( x 0 , y ) 在 y ? y 0 处的导数小于零.

(D) f ( x 0 , y ) 在 y ? y 0 处的导数不存在. [ ]

(3)设 p n ?
?

an ? an 2

,qn ?
?

an ? an 2
?

, n ? 1, 2 , ? ,则下列命题正确的是

(A) 若 ? a n 条件收敛,则 ? p n 与 ? q n 都收敛.
n ?1 n ?1 n ?1

27

(B) 若 ? a n 绝对收敛,则 ? p n 与 ? q n 都收敛.
n ?1 n ?1 n ?1 ? ? ?

?

?

?

(C) 若 ? a n 条件收敛,则 ? p n 与 ? q n 敛散性都不定.
n ?1 n ?1 n ?1 ? ? ?

(D) 若 ? a n 绝对收敛,则 ? p n 与 ? q n 敛散性都不定.
n ?1 n ?1 n ?1

[

]

?a ? (4)设三阶矩阵 A ? b ? ?b ?

b a b

b? ? b ,若 A 的伴随矩阵的秩为 1,则必有 ? a? ?

(A) a=b 或 a+2b=0. (C) a ? b 且 a+2b=0.

(B) a=b 或 a+2b ? 0. (D) a ? b 且 a+2b ? 0.

[

]

(5)设 ? 1 , ? 2 , ? , ? s 均为 n 维向量,下列结论不正确的是 (A) 若对于任意一组不全为零的数 k 1 , k 2 , ? , k s ,都有 k 1? 1 ? k 2 ? 2 ? ? ? k s ? s ? 0 , 则 ? 1 , ? 2 , ? , ? s 线性无关. (B) 若 ? 1 , ? 2 , ? , ? s 线性相关,则对于任意一组不全为零的数 k 1 , k 2 , ? , k s ,都有
k 1? 1 ? k 2 ? 2 ? ? ? k s ?
s

? 0.

(C) ? 1 , ? 2 , ? , ? s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s. (D) ? 1 , ? 2 , ? , ? s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ ]

(6)将一枚硬币独立地掷两次,引进事件: A 1 ={掷第一次出现正面}, A 2 ={掷第二次 出现正面}, A 3 ={正、反面各出现一次}, A 4 ={正面出现两次},则事件 (A) A1 , A 2 , A 3 相互独立. (C) A1 , A 2 , A 3 两两独立. 三、 (本题满分 8 分) 设
f (x) ? 1 ? 1 sin ? x ? 1 ,x?[ 1 2 ,1 ).

(B) A 2 , A 3 , A 4 相互独立. (D) A 2 , A 3 , A 4 两两独立. [ ]

?x

? (1 ? x )

试补充定义 f(1)使得 f(x)在 [ ,1 ] 上连续.
2

1

28

四 、 (本题满分 8 分) 设 f(u,v)具有二阶连续偏导数, 且满足
? g
2

? f
2

?u

2

?

? f
2

?v

2

? 1 , g ( x , y ) ? f [ xy , 又

1 2

(x

2

? y )] ,
2

?x

2

?

? g
2

?y

2

.

五、 (本题满分 8 分) 计算二重积分
I ?

??
D

e

? ( x ? y ?? )
2 2

sin( x
2

2

? y ) dxdy .
2

其中积分区域 D= {( x , y ) x ? y ? ? }.
2

29

六、 (本题满分 9 分) 求幂级数 1 ?

?
n ?1

?

( ? 1)

n

x

2n

( x ? 1 ) 的和函数 f(x)及其极值.

2n

七、 (本题满分 9 分) 设 F(x)=f(x)g(x), 其中函数 f(x),g(x)在 ( ?? , ?? ) 内满足以下条件:
f ? ( x ) ? g ( x ) , g ? ( x ) ? f ( x ) ,且 f(0)=0, f ( x ) ? g ( x ) ? 2 e .
x

(1) 求 F(x)所满足的一阶微分方程; (2) 求出 F(x)的表达式.

八、 (本题满分 8 分) 设函数 f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且 f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在
? ? ( 0 , 3 ) ,使 f ? (? ) ? 0 .

30

九、 (本题满分 13 分) 已知齐次线性方程组
? ( a 1 ? b ) x1 ? a 2 x 2 ? a 3 x 3 ? ? ? a n x n ? a x ? (a 2 ? b) x 2 ? a 3 x3 ? ? ? a n x n ? 1 1 ? ? a1 x1 ? a 2 x 2 ? ( a 3 ? b ) x 3 ? ? ? a n x n ? ?????????? ? ? a1 x1 ? a 2 x 2 ? a 3 x 3 ? ? ? ( a n ? b ) x n ?
n

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