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04免费2000-2012年考研数学三历年真题


(D) 若 ? ( u 2 n ? 1 ? u 2 n ) 收敛,则 ? u n 收敛
n ?1 n ?1

?

?

?

(4) 设 I ? 小关系是

?

4 0

ln (s in x ) d x , J ?

?

4 0

ln (c o t x ) d x , K ?

?

4 0

ln (c o s x ) d x 则 I , J , K 的大

(A) I ? J ? K

(B) I ? K ? J

(C) J ? I ? K

(D) K ? J ? I

(5) 设 A 为 3 阶矩阵,将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ,再交换 B 的第 2 行与第 3
?1 ? 行得单位矩阵记为 P1 ? ? 1 ?0 ? 0 1 0 0? ? 0 ? 1? ? ?1 ? , P2 ? ? 0 ?0 ? 0 0 1 0? ? 1 ? 0? ?

,则 A ?

(A) P1 P2

(B) P1 ? 1 P2
72

(C) P2 P1

(D) P2? 1 P1

(6) 设 A 为 4 ? 3 矩阵,? 1 , ? 2 , ? 3 是非齐次线性方程组 A x ? ? 的 3 个线性无关的 解, k 1 , k 2 为任意常数,则 A x ? ? 的通解为 (A) (B) (C) (D)
?2 ??3
2 ? k 1 (? 2 ? ? 1 ) ? k 2 (? 2 ? ? 1 ) ? k 1 (? 3 ? ? 1 ) ? k 2 (? 2 ? ? 1 ) ? k 2 (? 2 ? ? 1 ) ? k 3 (? 3 ? ? 1 )

?2 ??3
2

?2 ? ?3
2

?2 ??3
2

(7) 设 F1 ( x ) , F 2 ( x ) 为两个分布函数,其相应的概率密度 f 1 ( x ) , f 1 ( x ) 是连续函数, 则必为概率密度的是 (A) f 1 ( x ) f 2 ( x ) (C) f 1 ( x ) F 2 ( x ) (B) 2 f 2 ( x ) F1 ( x ) (D) f 1 ( x ) F 2 ( x ) ? f 2 ( x ) F1 ( x )

(8) 设总体 X 服从参数 ? ( ? ? 0 ) 的泊松分布, X 1 , X 1 , ? X n ( n ? 2 ) 为来自总体的简 单随即样本,则对应的统计量 T1 ? (A) E T1 ? E T 2 , D T1 ? D T 2 (C) E T1 ? E T 2 , D T1 ? D T 2
1

? n

n

X i , T2 ?

i ?1

? n ?1

1

n ?1

Xi ?

1 n

X

n

i ?1

(B) E T1 ? E T 2 , D T1 ? D T 2 (D) E T1 ? E T 2 , D T1 ? D T 2

二、填空题:9~14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上.
x

' (9) 设 f ( x ) ? lim x (1 ? 3 t ) t ,则 f ( x ) ? ______.
t? 0

(10) 设函数 z ? (1 ?

x y

x

) ,则 d z | (1,1 ) ? ______.
y

(11) 曲线 tan ( x ? y ? (12) 曲线 y ? 的体积______.
2

?
4

) ? e 在点 ( 0 , 0 ) 处的切线方程为______.
y

x ? 1 ,直线 x ? 2 及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转所成的旋转体

(13) 设二次型 f ( X 1 , X 2 , X 3 ) ? x T A x 的秩为 1, A 中行元素之和为 3,则 f 在正交变 换下 x ? Q y 的标准型为______.

73

(14) 设二维随机变量 ( X , Y ) 服从 N ( ? , ? ; ? , ? ; 0 ) ,则 E ( X Y ) ? ______.
2 2 2

三、解答题:15-23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分 10 分) 求极限 lim
1 ? 2 s in x ? x ? 1 x ln (1 ? x )

x? 0

.

(16) (本题满分 10 分) 已 知 函 数 f ( u , v ) 具 有 连 续 的 二 阶 偏 导 数 , f (1,1) ? 2 是 f ( u , v ) 的 极 值 ,
z ? f?( x ? f ( x, ? 。求 y)
? z
2

y, )

?x?y

|

(1 ,1 )

.

(17) (本题满分 10 分) 求?
a rc s in x ? ln x x

dx

74

(18) (本题满分 10 分) 证明 4 a rc ta n x ? x ?
4? 3 ? 3 ? 0 恰有 2 实根。

(19) (本题满分 10 分)
f ( x ) 在 ? 0 ,1 ? 有 连 续 的 导 数 , f ( 0 ) ? 1 , 且

??
Dt

f ( x ? y )d x d y ?
'

??
Dt

f t( d)x d y ,

D

t

? { ( x , y ) | 0 ? x ? t , 0 ? y ? t , 0 ? x ? y ? t } ( 0 ? t ? 1) ,求 f ( x ) 的表达式。

(20) (本题满分 11 分)
T T T T 设 3 维向量组 ? 1 ? 1, 0 ,1) , ? 2 ? 0 ,1,1) , ? 3 ? 1, 3, 5) 不能由 ? 1 ? 1, a ,1) , ( ( ( (

? 2 ? 1, 2 , 3) , ? 3 ? 1, 3, 5) 线性标出。 ( (
T T

求:(Ⅰ)求 a ; (Ⅱ)将 ? 1 , ? 2 , ? 3 由 ? 1 , ? 2 , ? 3 线性表出.

75

(21) (本题满分 11 分)
? 1 ? A 0 ? ? ? ?1 1 ? ? ?1 ? ? 0 ? 0 ? ? ? ? 1? ? 1 1? ? 0 ? ? 1?

已知 A 为三阶实矩阵, R ( A ) ? 2 ,且

求:(Ⅰ) 求 A 的特征值与特征向量; (Ⅱ) 求 A

(22) (本题满分 11 分) 已知 X , Y 的概率分布如下: X P 且P( X
2 2

0 1/3

1 2/3

Y P

-1 1/3

0 1/3

1 1/3

? Y ) ?1,

求:(Ⅰ) ( X , Y ) 的分布; (Ⅱ) Z ? X Y 的分布; (Ⅲ) ? X Y .

(23) (本题满分 11 分) 设 ( X , Y ) 在 G 上服从均匀分布, G 由 x ? y ? 0 , x ? y ? 2 与 y ? 0 围成。 求:(Ⅰ)边缘密度 f X ( x ) ; (Ⅱ) f X |Y ( x | y ) 。

76

2012 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题解析
一、 选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出 的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母 填在答题纸指定位置上. (1)曲线 y ? (A)0
x ? x
2

x ?1
2

渐近线的条数为( (C)2

) (D)3

(B)1

(2)设函数 f ( x ) ? ( e x ? 1)( e 2 x ? 2 )… ( e n x - n),其中 n 为正整数, 则 f ? (0 ) =( ) (B) ( ? 1) n ( n ? 1) ! (D) ( ? 1) n n !
?
2 2 cos ?

(A) ( ? 1) n ?1 ( n ? 1) ! (C) ( ? 1) n ?1 n !

(3)设函数 f ( t ) 连续,则二次积分 ? 2 d ? ?
0

f ( r )r d r =(
2

(A) ? d x ?
0

2

4? x

2

2 x? x

2

x ? y f ( x ? y )d y
2 2 2 2

(B) ? d x ?
0

2

4? x

2

2 x? x

2

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