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04免费2000-2012年考研数学三历年真题


f ( x ? y )d y
2 2
2

(C) ? (D)

2 0

dx ?
1

4? x ?

x ? y
2 2

2

f ( x ? y )dy
2 2

2x ? x
4 ? x
2

?

2 0

dx ?
1

f (x ? 2x ? x
?
2

2

? y )dy
2

(4) 已知级数 ? ( ? 1)
i ?1

n

n s in

1 n
?

绝对收敛,?
i ?1

?

( ? 1) n
2 ??

n

条件收敛, ? 则

范围为( )
77

(A)0< ? ? (C)1< ? ?

1 2 3 2

(B) < ? ? 1
2

1

(D) < ? <2
2

3

? 1 ? ?0? ? 0 ? ? ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? (5)设 ? 1 ? 0 , ? 2 ? 1 , ? 3 ? ? 1 , ? 4 ? 1 其中 c1, c 2, c 3, c 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ?c ? ?c ? ?c ? ?c ? ? 1? ? 2? ? 4 ? ? 3 ?

为任意常数,则下列向量组线性相关的是( (A) ? 1, ? 2, ? 3 (C) ? 1, ? 3, ? 4 (B) ? 1, ? 2, ? 4

(D) ? 2, ? 3, ? 4
? ? , ? 2? ?

?1 ? (6)设 A 为 3 阶矩阵,P 为 3 阶可逆矩阵,且 P-1AP= ? ? ?
P = ( ? 1, ? 2, ? 3) , = ( ? 1 + ? 2, ? 2, ? 3)则 Q Q
?1

1

A Q = (????????? )

?1 ? (A) ? ? ? ?2 ? (C) ? ? ?

2

? ? ? 1? ? ? ? ? 2? ?

?1 ? (B) ? ? ? ?2 ? (D) ? ? ?

1

? ? ? 2? ? ? ? ? 1? ?

1

2

(7)设随机变量 X 与 Y 相互独立,且都服从区间(0,1)上的均匀 分布,则 ?{ ? 2 + ? (A)
1 4
2

? 1}(

) (C)
?
8

(B)

1 2

(D)

?
4

( (8)设 X 1, X 2, X 3, X 4 为来自总体 N 1, ? 2) ( ? ? 0)的简单随

78

机样本,则统计量
( (A) N 0, 1)

X1 ? X

2

的分布(

) (D) F (1,1)

| X 3 + X 4 -2 |

(B) t (1)

(C) ? 2 (1)

二、填空题:9~14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题 纸指定位置上.
1

(9) lim (ta n x )
x?

c o s x ? s in x

?

4

(10) 设函数 f ( x ) ?

? ln ?

x,x ?1

? 2 x ? 1, x ? 1 ?
f ( , x

, y ? f ( f ( x )), 求

dy dx
x?0

___________.

( 11 ) 函 数 z ?
dz ? _______.
4 x

) y 满 足 lim

f ( x, y) ? 2 x ? y ? 2 x ? ( y ? 1)
2 2

x? 0 y?1

? 0, 则

( 0 ,1 )

(12) 由曲线 y ? 积为_______.

和直线 y ? x 及 y ? 4 x 在第一象限中所围图形的面

(13)设 A 为 3 阶矩阵,|A|=3,A*为 A 的伴随矩阵,若交换 A 的第 一行与第二行得到矩阵 B,则|BA*|=________. (14) A,B,C 是随机事件, 设 A,C 互不相容,P ( A B ) ?
P ? ? C = _________. ( )
1 2 , P (C ) ? 1 3 ,则

三、 解答题:15~23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置 上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分 10 分)

79

计算 lim

e

x

2

?e x

2 ? 2 cos x 4

x? 0

(16) (本题满分 10 分) 计算二重积分 ?? e x x y d x d y ,其中 D 为由曲线 y ?
D

x与 y ?

1 x

所围区

域.

(17) (本题满分 10 分)某企业为生产甲、乙两种型号的产品,投入 的固定成本为 10000(万元) ,设该企业生产甲、乙两种产品的产量 分别为 x(件)和 y(件), 且固定两种产品的边际成本分别为 20+ (万
2 x

元/件)与 6+y(万元/件). 1)求生产甲乙两种产品的总成本函数 C ( x , y ) (万元) 2)当总产量为 50 件时,甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最 小?求最小的成本. 3)求总产量为 50 件时且总成本最小时甲产品的边际成本,并解释其 经济意义.
80

(18) (本题满分 10 分) 证明: x ln
1? x 1? x ? cos x ? 1 ? x
2

, ?1 ? x ? 1.

2

( 19 )( 本 题 满 分 10 分 ) 已 知 函 数 f ( x ) 满 足 方 程
f ? ( x )?

?f ( ?) x

( 2 f ? ( x 及 f ? 0x ) ? f ( x ) ? 2 e )

x

1)求表达式 f ( x ) 2)求曲线的拐点 y ? f ( x 2 ) ? f ( ? t 2 )d t
0 x

81

(20) (本题满分 10 分)
?1 ? 0 设A ? ? ?0 ? ?a a 1 0 0 0 a 1 0 0? ? 1 ? ? ? ? 0 ?1 ?, b ? ? ? ? 0 ? a? ? ? ? 1? ? 0 ?

(I)求|A| (II) 已知线性方程组 A x ? b 有无穷多解, a , 求 并求 A x ? b 的通解.

(21)(本题满分 10 分)
? 1 ? 0 已知 A ? ? ??1 ? ? 0 0 1 0 a 1 ? ? 1 ?, 二次型 f ( x1 , x 2 , x 3 ) ? x ? ( ? ? ? ) x 的秩为 2, a ? ? ? 1?

(1) 求实数 a 的值; (2) 求正交变换 x=Qy 将 f 化为标准型.
82

(22) (本题满分 10 分) 已知随机变量 X,Y 以及 XY 的分布律如下表所示: X P 0
1 2

1
1 3

2
1 6

Y P

0
1 3

1
1 3

2
1 3

XY P

0
7 12

1
1 3

2 0

4
1 12

求(1)P(X=2Y);

83

(2) co v( X ? Y , Y ) 与 ? X Y .

(23) (本题满分 10 分) 设随机变量 X 和 Y 相互独立,且均服从参数为 1 的指数分布,
V ? m in ( X , Y ), U = m ax ( X , Y ).

求(1)随机变量 V 的概率密度; (2) E (U ? V ) .

84

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