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04免费2000-2012年考研数学三历年真题


? 0, ? 0, ? 0,

? 0,

其中 ? a i ? 0 . 试讨论 a 1 , a 2 , ? , a n 和 b 满足何种关系时,
i ?1

(1) 方程组仅有零解; (2) 方程组有非零解. 在有非零解时,求此方程组的一个基础解系.

十、 (本题满分 13 分) 设二次型
f ( x1 , x 2 , x 3 ) ? X
T

AX ? ax 1 ? 2 x 2 ? 2 x 3 ? 2 bx 1 x 3 ( b ? 0 ) ,
2 2 2

中二次型的矩阵 A 的特征值之和为 1,特征值之积为-12. (1) 求 a,b 的值; (2) 利用正交变换将二次型 f 化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.

31

十一、 (本题满分 13 分) 设随机变量 X 的概率密度为
? 1 , 若 x ? [1, 8 ], ? f ( x ) ? ? 33 x 2 其他 ; ? 0, ?

F(x)是 X 的分布函数. 求随机变量 Y=F(X)的分布函数.

十二、 (本题满分 13 分) 设随机变量 X 与 Y 独立,其中 X 的概率分布为
? 1 X ~ ? ? ? 0 .3 2 ? ?, ? 0 .7 ?

而 Y 的概率密度为 f(y),求随机变量 U=X+Y 的概率密度 g(u).

32

2004 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题
一、填空题:本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分. 请将答案写在答题纸指定位置 上. (1) 若 lim
s in x e ?a
x

x? 0

? c o s x ? b ? ? 5 ,则 a ? ______, b

? ______.

(2) 函数 f ? u , v ? 由关系式 f ? x g ? y ? , y ? ? x ? g ? y ? 确定,其中函数 g ? y ? 可微,且 ? ?
g ? y ? ? 0 ,则
? f
2

?u?v

? ______.

? x2 xe , ? ? (3) 设 f ? x ? ? ? ? ? 1, ? ?

?

1 2

? x? x? 1 2 ,

1 2

,

则 ? 1 f ? x ? 1 ? d x ? _____.
2

2

(4) 二次型 f ? x1 , x 2 , x 3 ? ? ? x1 ? x 2 ? ? ? x 2 ? x 3 ? ? ? x 3 ? x1 ? 的秩为______.
2 2 2

(5) 设随机变量 X 服从参数为 ? 的指数分布,则 P ? X ? (6) 设 总 体 X 服 从 正 态 分 布 N ? ? 1 , ?
2

DX

? ? ______.
2

?

, 总 体 Y 服 从 正 态 分 布 N ? ? 2 ,?

?

X 1 , X 2 , ? , X n 和 Y1 , Y 2 , ? , Y n 分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本,则
1 2

2 2 ? 1 Xi ? X ? ? Yj ? Y ?? i ?1 j ?1 E ? ? n1 ? n 2 ? 2 ? ?

n

?

?

n

?

?

2

? ? ? ? ______. ? ? ?

二、选择题:本题共 8 小题,每小题 4 分,满分 24 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求,请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (7) 函数 f ? x ? ? (A) ? ? 1, 0 ?
x sin ? x ? 2 ? x ? x ? 1? ? x ? 2 ?
2

在下列哪个区间内有界.

(B) ? 0 ,1 ?

(C) ? 1, 2 ?

(D) ? 2 , 3 ?
? ?, ? x ? 0, x ? 0,

? ?1 ? f ? (8) 设 f ? x ? 在 ? ? ? , ? ? ? 内有定义,且 lim f ? x ? ? a , g ? x ? ? ? ? x x? ? ? 0, ?

33

(A) x ? 0 必是 g ? x ? 的第一类间断点 (C) x ? 0 必是 g ? x ? 的连续点 有关. (9) 设 f ? x ? ? x ? 1 ? x ? ,则

(B) x ? 0 必是 g ? x ? 的第二类间断点 (D) g ? x ? 在点 x ? 0 处的连续性与 a 的值

(A) x ? 0 是 f ? x ? 的极值点,但 ? 0 , 0 ? 不是曲线 y ? f ? x ? 的拐点 (B) x ? 0 不是 f ? x ? 的极值点,但 ? 0 , 0 ? 是曲线 y ? f ? x ? 的拐点 (C) x ? 0 是 f ? x ? 的极值点,且 ? 0 , 0 ? 是曲线 y ? f ? x ? 的拐点 (D) x ? 0 不是 f ? x ? 的极值点, ? 0 , 0 ? 也不是曲线 y ? f ? x ? 的拐点 (10) 设有以下命题: ① 若 ? ? u 2 n ? 1 ? u 2 n ? 收敛,则 ? u n 收敛
n ?1 n ?1 ? ? ? ?

② 若 ? u n 收敛,则 ? u n ? 1 0 0 0 收敛
n ?1 n ?1 ?

③ 若 lim

u n ?1 un

n? ?

? 1 ,则 ? u n 发散
n ?1

④ 若 ? ? u n ? v n ? 收敛,则 ? a n , ? v n 都收敛
n ?1

?

?

?

n ?1

n ?1

则以上命题中正确的是 (A)①② (B)②③ (C)③④ (D)①④

(11) 设 f ? ? x ? 在 ? a , b ? 上连续,且 f ? ? a ? ? 0 , f ? ? b ? ? 0 ,则下列结论中错误的是 (A)至少存在一点 x 0 ? ? a , b ? ,使得 f ? x 0 ? ? f ? a ? (B)至少存在一点 x 0 ? ? a , b ? ,使得 f ? x 0 ? ? f ? b ? (C)至少存在一点 x 0 ? ? a , b ? ,使得 f ? ? x 0 ? ? 0 (D)至少存在一点 x 0 ? ? a , b ? ,使得 f ? x 0 ? ? 0 (12) 设 n 阶矩阵 A 与 B 等价,则必有

34

(A)当 A ? a ? a ? 0 ? 时, B ? a (C)当 A ? 0 时, B ? 0

(B)当 A ? a ? a ? 0 ? 时, B ? ? a (D)当 A ? 0 时, B ? 0

(13) 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A * ? 0 ,若 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 是非齐次线性方程组 A x ? b 的 互不相等的解,则对应的齐次线性方程组 A x ? 0 的基础解系 (A)不存在 (C)含有两个线性无关的解向量 (B)仅含一个非零解向量 (D)含有三个线性无关的解向量

(14) 设 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 N ? 0 , 1 , 对 给 定 的 ? ? ? 0 ,1 ? , 数 u n 满 足 ?
P ? X ? u ? ? ? ,若 P ? X ? x ? ? ? ,则 x 等于 ?

(A) u ?
2

(B) u

1?

?
2

(C) u 1 ? ?
2

(D) u 1 ? ?

三、解答题:本题共 9 小题,满分 94 分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分 8 分) 求 lim ? x? 0
? 1
2

?

? s in x

cos x ? ?. 2 x ?
2

(16) (本题满分 8 分) 求 ??
D

?

x ? y
2

2

? y d? , 其中 D 是由圆 x ? y ? 4 和 ? x ? 1 ? ? y ? 1 所围成的平面
2 2
2 2

?

区域(如图).

(17) (本题满分 8 分) 设 f ? x ? , g ? x ? 在 ? a , b ? 上连续,且满足

35

? ?
b a

1234567891011

 


 

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