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04免费2000-2012年考研数学三历年真题


x a b a

f ? t ?d t ? f ?t ? dt ?

?

x a b a

g ? t ?d t , x ? ? a , b ? , g ?t ? dt

?

证明: ? xf ? x ? d x ?

?

b a

xg ? x ? d x .

(18) (本题满分 9 分) 设某商品的需求函数为 Q ? 1 0 0 ? 5 P ,其中价格 P ? ? 0, 2 0 ? , Q 为需求量. (Ⅰ)求需求量对价格的弹性 E d ? E d ? 0 ? ; (Ⅱ)推导
dR dP ? Q ? 1 ? E d ? (其中 R 为收益),并用弹性 E d 说明价格在何范围内变

化时,降低价格反而使收益增加.

(19) (本题满分 9 分) 设级数
x
4

2?4

?

x

6

2 ?4 ?6

?

x

8

2 ? 4 ?6 ?8

? ? ? ? ? ? x ? ? ? ? 的和函数为 S ? x ? .求:

(Ⅰ) S ? x ? 所满足的一阶微分方程; (Ⅱ) S ? x ? 的表达式.

36

(20) (本题满分 13 分) 设 ? 1 ? ? 1, 2 , 0 ? , ? 2 ? ? 1, a ? 2 , ? 3 a ? , ? 3 ? ? ? 1, ? b ? 2 , a ? 2 b ? , ? ? 1, 3, ? 3 ? . 试 ?
T T T

T

讨论当 a , b 为何值时, (Ⅰ) ? 不能由 ? 1 , ? 2 , ? 3 线性表示; (Ⅱ) ? 可由 ? 1 , ? 2 , ? 3 唯一地线性表示,并求出表示式; (Ⅲ) ? 可由 ? 1 , ? 2 , ? 3 线性表示,但表示式不唯一,并求出表示式.

(21) (本题满分 13 分)
?1 ? b 设 n 阶矩阵 A ? ? ?? ? ?b b 1 ? b ? ? ? b? ? b ?. ?? ? 1?

(Ⅰ)求 A 的特征值和特征向量; (Ⅱ)求可逆矩阵 P ,使得 P A P 为对角矩阵.
?1

37

(22) (本题满分 13 分) 设 A, B 为 两 个 随 机 事 件 , 且 P ? A ? ?
? 1, X ? ? ?0, A发 生 , A不 发 生 . ? 1, Y ? ? ?0,
1 4 ,P ?B A? ? 1 3 ,P?A B? ? 1 2

, 令

B发 生 , B不 发 生 .

求:(Ⅰ)二维随机变量 ? X , Y ? 的概率分布; (Ⅱ) X 与 Y 的相关系数 ? X Y ; (Ⅲ) Z ? X ? Y 的概率分布.
2 2

(23) (本题满分 13 分) 设随机变量 X 的分布函数为
? ?1 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? , ? x ? 0,
?

F ? x;? , ?

?

x ??, x ? ?.

其中参数 ? ? 0, ? ? 1 . 设 X 1 , X 2 , ? , X n 为来自总体 X 的简单随机样本. (Ⅰ)当 ? ? 1 时,求未知参数 ? 的矩估计量; (Ⅱ)当 ? ? 1 时,求未知参数 ? 的最大似然估计量; (Ⅲ)当 ? ? 2 时,求未知参数 ? 的最大似然估计量.

38

2005 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题
一、填空题:本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分. 请将答案写在答题纸指定位置 上. (1) 极限 lim x sin
x? ?

2x x ?1
2

? ______.

(2) 微分方程 x y ? ? y ? 0 满足初始条件 y ? 1 ? ? 2 的特解为______. (3) 设二元函数 z ? xe
x? y

? ? x ? 1 ? ln ? 1 ? y ? ,则 d z

? 1, 0 ?

? ______.

(4) 设 行 向 量 组 ? 2,1,1,1 ? , ? 2,1, a , a ? , ? 3, 2,1, a ? , ? 4, 3, 2,1 ? 线 性 相 关 , 且 a ? 1 , 则
a ? ______.

(5) 从数 1, 2 , 3, 4 中任取一个数,记为 X ,再从 1, ? , X 中任取一个数,记为 Y ,则
P ? Y ? 2 ? ? ______.

(6) 设二维随机变量 ? X , Y ? 的概率分布为
X
Y

0 0.4 b

1 a 0.1

0 1

若随机事件 ? X ? 0 ? 与 ? X ? Y ? 1? 相互独立,则 a ? ______, b ? ______. 二、选择题:本题共 8 小题,每小题 4 分,满分 24 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求,请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (7) 当 a 取下列哪个值时,函数 f ? x ? ? 2 x ? 9 x ? 1 2 x ? a 恰有两个不同的零点.
3 2

(A)2 (8) 设 I 1 ?

(B)4

(C)6

(D)8
3

?? c o s
D

x ? y d? , I2 ?
2 2

?? c o s ? x
D

2

? y

2

? d? , I

?

?? c o s ? x
D

2

? y

2

?

2

d ? ,其

中 D ? ? ? x , y ? x ? y ? 1? ,则
2 2

(A) I 3 ? I 2 ? I 1

(B) I 1 ? I 2 ? I 3
? ?

(C) I 2 ? I 1 ? I 3
n ?1

(D) I 3 ? I 1 ? I 2

(9) 设 a n ? 0 , n ? 1, 2 , ? , 若 ? a n 发散, ? ? ? 1 ?
n ?1 n ?1

a n 收敛,则下列结论正确的是

39

(A) ? a 2 n ? 1 收敛, ? a 2 n 发散
n ?1 n ?1 ?

?

?

(B) ? a 2 n 收敛, ? a 2 n ? 1 发散
n ?1 n ?1 ?

?

?

(C) ? ? a 2 n ? 1 ? a 2 n ? 收敛
n ?1

(D) ? ? a 2 n ? 1 ? a 2 n ? 收敛
n ?1

(10) 设 f ? x ? ? x sin x ? co s x ,下列命题中正确的是 (A) f ? 0 ? 是极大值, f ?
?? ? ? 是极小值 ? 2 ?

(B) f ? 0 ? 是极小值, f ?

?? ? ? 是极大值 ? 2 ?

(C) f ? 0 ? 是极大值, f ?

?? ? ? 也是极大值 ? 2 ? ?? ? ? 也是极小值 ? 2 ?

(D) f ? 0 ? 是极小值, f ?

(11) 以下四个命题中,正确的是 (A)若 f ? ? x ? 在 ? 0 ,1 ? 内连续,则 f ? x ? 在 ? 0 ,1 ? 内有界 (B)若 f ? x ? 在 ? 0 ,1 ? 内连续,则 f ? x ? 在 ? 0 ,1 ? 内有界 (C)若 f ? ? x ? 在 ? 0 ,1 ? 内有界,则 f ? x ? 在 ? 0 ,1 ? 内有界 (D)若 f ? x ? 在 ? 0 ,1 ? 内有界,则 f ? ? x ? 在 ? 0 ,1 ? 内有界 (12) 设矩阵 A ? ? a ij ? 满足 A ? A , 其中 A 为 A 的伴随矩阵,A 为 A 的转置矩阵.
* T * T

3? 3

若 a 1 1 , a 1 2 , a 1 3 为三个相等的正数,则 a 1 1 为
3 3
1 3

(A)

(B)3

(C)

(D) 3

(13) 设 ? 1 , ? 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为 ? 1 , ? 2 ,则
? 1 , A ? ? 1 ? ? 2 ? 线性无关的充分必要条件是

(A) ? 1 ? 0

(B) ? 2 ? 0

(C) ? 1 ? 0

(D) ? 2 ? 0

1234567891011

 


 

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