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04免费2000-2012年考研数学三历年真题


(14)(注:该题已经不在数三考纲范围内)

40

三、解答题:本题共 9 小题,满分 94 分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分 8 分) 求 lim ? x? 0
? 1? x ?1? e
?x

?

1? ?. x?

(16) (本题满分 8 分) 设 f ? u ? 具有二阶连续导数,且 g ? x , y ? ? f ?
? x ? ? y? 2 ? g 2 ? g ? y . ? ? y f ? ? ,求 x 2 2 ?x ?y ? x ? ? y?
2 2

(17) (本题满分 9 分) 计算二重积分 ?? x ? y ? 1 d ? ,其中 D ? ? ? x , y ? 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1? .
2 2 D

(18) (本题满分 9 分) 求幂级数 ? ?
? 2n ? 1 ? x 在区间 ? ? 1,1 ? 内的和函数 S ? x ? . ? n ?1 ? 2 n ? 1 1
?

?

(19) (本题满分 8 分)

41

设 f ? x ? , g ? x ? 在 ? 0 ,1 ? 上的导数连续,且 f ? 0 ? ? 0, f ? ? x ? ? 0, g ? ? x ? ? 0 .证明:对任 何 ? ? ? 0 ,1 ? ,有

?

a 0

g ? x ? f ? ? x ? dx ?

?

1

f
0

? x ?g ? ? x ? d x

? f

? a ? g ?1 ?

(20) (本题满分 13 分) 已知齐次线性方程组
? x1 ? 2 x 2 ? 3 x 3 ? 0 , ? (ⅰ) ? 2 x1 ? 3 x 2 ? 5 x 3 ? 0 , ? ? x1 ? x 2 ? a x 3 ? 0 ,
? x1 ? b x 2 ? c x 3 ? 0 , ? ? 2 x1 ? b x 2 ? ? c ? 1 ? x 3 ? 0 , ?
2

(ⅱ) ?

同解,求 a , b , c 的值.

(21) (本题满分 13 分) 设D ? ? 矩阵.
T (Ⅰ)计算 P D P ,其中 P ? ?

? A ?C
T

C? ? 为正定矩阵,其中 A , B 分别为 m 阶,n 阶对称矩阵, C 为 m ? n 阶 B?

? Em ? O

?A C ? ?; En ?

?1

T ?1 (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果判断矩阵 B ? C A C 是否为正定矩阵,并证明你的结论.

42

(22) (本题满分 13 分) 设二维随机变量 ? X , Y ? 的概率密度为

f

? x, y ? ?

?0, ? ? 1,

0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2 x , 其它.

求:(Ⅰ) ? X , Y ? 的边缘概率密度 f X ? x ? , f Y ? y ? ; (Ⅱ) Z ? 2 X ? Y 的概率密度 f Z ? z ? ; (Ⅲ) P ? Y ?
? ? 1 2 X ? 1? ?. 2?

(23) (本题满分 13 分) 设 X 1 , X 2 , ? , X n ? n ? 2 ? 为来自总体 N ? 0 , ? 记 Y i ? X i ? X , i ? 1, 2 , ? , n . (Ⅰ)求 Y i 的方差 D Y i , i ? 1, 2 , ? , n ; (Ⅱ)求 Y1 与 Y n 的协方差 C o v ? Y1 , Y n ? ; (Ⅲ)若 c ? Y1 ? Y n ? 是 ? 的无偏估计量,求常数 c .
2 2

? 的简单随机样本,其样本均值为 X

2

43

2006 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题
一、填空题:1-6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 把答案填在题中横线上.
? n ?1? (1) lim ? ? n? ? ? n ?
? ? 1?
n

? ______ .
f ?x?

(2) 设 函 数 f ( x ) 在 x ? 2 的 某 邻 域 内 可 导 , 且 f ? ? x ? ? e
f ??? ? 2 ? ? _ _ _ _ .

, f ?2? ? 1 ,则

(3) 设 函 数 f ( u ) 可 微 , 且 f ? ? 0 ? ?
dz
? 1, 2 ?

1 2

, 则 z ? f ? 4 x 2 ? y 2 ? 在 点 (1,2) 处 的 全 微 分

? _____ .
? 2 ? ?1 1? 矩阵 B 满足 B A ? B ? 2 E , B ? 则 E ? , 为 2 阶单位矩阵, 2?

(4) 设矩阵 A ? ?

.

(5) 设 随 机 变 量 X 与 Y 相 互 独 立 , 且 均 服 从 区 间 ? 0 , 3 ? 上 的 均 匀 分 布 , 则
P ? m ax ? X , Y ? ? 1? ? _______.

(6) 设总体 X 的概率密度为 f ? x ? ?

1 2
2

e

? x

? ??

? x ? ? ? ? , X 1 , X 2 ,? , X

n

为总体 X

2 的简单随机样本,其样本方差为 S ,则 E S ? _ _ _ _ .

二、选择题:7-14 小题,每小题 4 分,共 32 分. 每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 设函数 y ? f ( x ) 具有二阶导数, f ? ( x ) ? 0, f ?? ( x ) ? 0 ,? x 为自变量 x 在点 x 0 处 且 的增量, ? y 与 d y 分别为 f ( x ) 在点 x 0 处对应的增量与微分,若 ? x ? 0 ,则() (A) (C)
0 ? dy ? ?y . ?y ? dy ? 0 .

(B) (D)
f

0 ? ?y ? dy . dy ? ?y ? 0 .

(8) 设函数 f ? x ? 在 x ? 0 处连续,且 lim
f ? 0 ? ? 0 且 f ? ? ? 0 ? 存在

?h ?
2

h? 0

h

2

? 1 ,则()

(A)

(B) f ? 0 ? ? 1且 f ? ? ? 0 ? 存在

44

(C) f ? 0 ? ? 0 且 f ? ? ? 0 ? 存在 (9) 若级数 ? a n 收敛,则级数()
n ?1
?

(D) f ? 0 ? ? 1且 f ? ? ? 0 ? 存在

?

(A)

?
n ?1

a n 收敛 .

(B) ? ( ? 1) n a n 收敛.
n ?1

?

(C)

?
n ?1

?

a n a n ? 1 收敛.

(D)

?
n ?1

?

a n ? a n ?1 2

收敛.

(10) 设非齐次线性微分方程 y ? ? P ( x ) y ? Q ( x ) 有两个不同的解 y 1 ( x ), y 2 ( x ), C 为任 意常数,则该方程的通解是() (A) C ? y 1 ( x ) ? y 2 ( x ) ? . (C) C ? y 1 ( x ) ? y 2 ( x ) ? . (B) y 1 ( x ) ? C ? y 1 ( x ) ? y 2 ( x ) ? . (D) y 1 ( x ) ? C ? y 1 ( x ) ? y 2 ( x ) ?

(11) 设 f ( x , y ) 与 ? ( x , y ) 均为可微函数,且 ? y ? ( x , y ) ? 0 ,已知 ( x 0 , y 0 ) 是 f ( x , y ) 在 约束条件 ? ( x , y ) ? 0 下的一个极值点,下列选项正确的是() (A) 若 f x ? ( x 0 , y 0 ) ? 0 ,则 f y ? ( x 0 , y 0 ) ? 0 . (B) 若 f x ? ( x 0 , y 0 ) ? 0 ,则 f y ? ( x 0 , y 0 ) ? 0 . (C) 若 f x ? ( x 0 , y 0 ) ? 0 ,则 f y ? ( x 0 , y 0 ) ? 0 . (D) 若 f x ? ( x 0 , y 0 ) ? 0 ,则 f y ? ( x 0 , y 0 ) ? 0 . (12) 设 ? 1 , ? 2 , ? , ? s 均为 n 维列向量, A 为 m ? n 矩阵,下列选项正确的是() (A) 若 ? 1 , ? 2 , ? , ? s 线性相关,则 A? 1 , A? 2 , ? , A? s 线性相关. (B) 若 ? 1 , ? 2 , ? , ? s 线性相关,则 A? 1 , A? 2 , ? , A? s 线性无关. (C) 若 ? 1 , ? 2 , ? , ? s 线性无关,则 A? 1 , A? 2 , ? , A? s 线性相关. (D) 若 ? 1 , ? 2 , ? , ? s 线性无关,则 A? 1 , A? 2 , ? , A? s 线性无关. (13) 设 A 为 3 阶矩阵,将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B ,再将 B 的第 1 列的 ? 1 倍加到

1234567891011

 


 

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