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04免费2000-2012年考研数学三历年真题


45

?1 ? 第 2 列得 C ,记 P ? ? 0 ?0 ?

1 1 0

0? ? 0 ,则() ? 1? ?

(A) C ? P ? 1 A P . (C) C ? P T A P .

(B) C ? P A P ? 1 . (D) C ? P A P T .

(14) 设随机变量 X 服从正态分布 N ( ? 1 , ? 12 ) ,随机变量 Y 服从正态分布 N ( ? 2 , ? 22 ) , 且
P ? X ? ? 1 ? 1? ? P ? Y ? ? 2 ? 1?

则必有() (A) ? 1 ? ? 2 (C) ? 1 ? ? 2 (B) ? 1 ? ? 2 (D) ? 1 ? ? 2

三、解答题:15-23 小题,共 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分 7 分)
1 ? y s in

?x
y , x ? 0 , y ? 0 ,求:

设 f ? x, y ? ?

y 1 ? xy

?

a rc ta n x

(Ⅰ) g ? x ? ? lim f ? x , y ? ;
y ? ??

(Ⅱ) lim g ? x ? 。
x? 0
?

(16) (本题满分 7 分) 计算二重积分 ??
D

y ? x y d x d y ,其中 D 是由直线 y ? x , y ? 1, x ? 0 所围成的平面区
2

域。

46

(17) (本题满分 10 分) 证明:当 0 ? a ? b ? ? 时,
b sin b ? 2 co s b ? ? b ? a sin a ? 2 co s a ? ? a

(18) (本题满分 8 分) 在 x O y 坐标平面上,连续曲线 L 过点 M ? 1, 0 ? ,其上任意点 P ? x , y ? ? x ? 0 ? 处的切线 斜率与直线 O P 的斜率之差等于 a x (常数 a > 0 ) 。 (Ⅰ)求 L 的方程; (Ⅱ)当 L 与直线 y ? a x 所围成平面图形的面积为
8 3

时,确定 a 的值。

(19) (本题满分 10 分)

? ? 1? x 求幂级数 ? 的收敛域及和函数 s ( x ) 。 n ? 2 n ? 1? n ?1
? 2 n ?1

n ?1

47

(20) (本题满分 13 分) 设 4 维向量组 ? 1 ? ? 1 ? a ,1,1,1 ? , ? 2 ? ? 2 , 2 ? a , 2 , 2 ? , ? 3 ? ? 3, 3, 3 ? a , 3 ? , ? 4 ?
T T T

? 4 , 4 , 4 , 4 ? a ? 问 a 为何值时 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 线性相关?当 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 线性相关时,求其一
T

个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出。

(21) (本题满分 13 分) 设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3, 向量 ? 1 ? ? ? 1, 2 , ? 1 ? , ? 2 ? ? 0 , ? 1,1 ? 是
T T

线性方程组 A x ? 0 的两个解。 (Ⅰ)求 A 的特征值与特征向量; (Ⅱ)求正交矩阵 Q 和对角矩阵 ? ,使得 Q A Q ? ? ;
T

(Ⅲ)求 A 及 ? A ?
?

?

? E ? ,其中 E 为 3 阶单位矩阵。 2 ? 3

6

48

(22) (本题满分 13 分) 设随机变量 X 的概率密度为
?1 , ?1 ? x ? 0 ?2 ? ?1 ?x? ? ? ,0 ? x ? 2 , ?4 ?0,   其 他 ? ?

fX

令 Y ? X , F ? x , y ? 为二维随机变量 ( X , Y ) 的分布函数。
2

(Ⅰ)求 Y 的概率密度 f Y ? y ? ; (Ⅱ) C o v ( X , Y ) ;
? ? 1 ? ,4? 。 2 ?

(Ⅲ) F ? ?

(23) (本题满分 13 分) 设总体 X 的概率密度为
0 ? x ? 1, ?? , ? ? ?1 ? ? ,1 ? x ? 2 , ?0 , 其他, ?

f

? x ;? ?

其中 ? 是未知参数 ? 0 ? ? ? 1 ? , X 1 , X 2 ..., X n 为来自总体 X 的简单随机样本,记 N 为样本 值 x1 , x 2 ..., x n 中小于 1 的个数。 (Ⅰ)求 ? 的矩估计; (Ⅱ)求 ? 的最大似然估计。

49

2007 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题
一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有 一个选项是符合题目要求的,请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上 (1) 当 x ? 0 ? 时,与 x 等价的无穷小量是() (A) 1 ? e
x

(B) ln (1 ?

x)

(C) 1 ?

x ?1

(D) 1 ? co s

x

(2) 设函数 f ( x ) 在 x ? 0 处连续,下列命题错误的是() (A)若 lim (B)若 lim (C)若 lim
f (x) x f ( x) ? f (? x) x f (x) x f ( x) ? f (? x) x

x? 0

存在,则 f (0 ) ? 0 存在,则 f (0 ) ? 0

x? 0

x? 0

存在,则 f '(0 ) 存在 存在,则 f '(0 ) 存在

(D)若 lim

x? 0

(3) 如图,连续函数 y ? f ( x ) 在区间 ? ? 3, ? 2 ? , ? 2, 3 ? 上的图形分别是直径为 1 的上、下 半圆周,在区间 ? ? 2 , 0 ? , ? 0 , 2 ? 上图形分别是直径为 2 的上、下半圆周,设 F ( x ) ? 则下列结论正确的是()

?

x

f ( t )d t ,
0

(A) F (3) ? ? (C) F ( ? 3) ?

3 4 3 4

F (?2) F (2)
?
1 s in x

(B) F (3) ?

5 4

F (2) 5 4 F (?2)

(D) F ( ? 3) ? ?

(4) 设函数 f ( x , y ) 连续,则二次积分 ? ? d x ?
2

f ( x , y ) d y 等于()

(A) ? d y ?
0

1

? ? ? a rc s in y
? ? a rc s in y

f ( x , y )d x

(B) ? d y ?
0

1

? ? ? a rc s in y
? ? a rc s in y

f ( x , y )d x

(C) ? d y ? ?
0

1

f ( x , y )d x

(D) ? d y ? ?
0

1

f ( x , y )d x

2

2

50

(5) 设某商品的需求函数为 Q ? 1 6 0 ? 2 ? ,其中 Q , ? 分别表示需要量和价格,如果 该商品需求弹性的绝对值等于 1,则商品的价格是() (A)10 (6) 曲线 y ? (A)0
1 x

(B)20
x

(C)30

(D)40

? ln (1 ? e ), 渐近线的条数为()

(B)1

(C)2

(D)3

(7) 设向量组 ? 1 , ? 2 , ? 3 线性无关,则下列向量组线性相关的是() (A) ? 1 ? ? 2 , ? 2 ? ? 3 , ? 3 ? ? 1
? (C) 1 ? 2 ? 2 , ? 2 ? 2 ? 3 , ? 3 ? 2 ? 1
? 2 ? (8) 设矩阵 A ? ? ? 1 ??1 ? ?1 2 ?1 ? 1? ?1 ? ? ? 1? , B ? ? 0 ?0 2 ? ? ? 0 1 0

(B) ? 1 + ? 2 , ? 2 + ? 3 , ? 3 + ? 1 (D) ? 1 ? 2 ? 2 , ? 2 ? 2 ? 3 , ? 3 ? 2 ? 1
0? ? 0 ? ,则 A 与 B() 0? ?

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