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04免费2000-2012年考研数学三历年真题


(A)合同,且相似 (C) 不合同,但相似

(B) 合同,但不相似 (D) 既不合同,也不相似

(9) 某人向同一目标独立重复射击, 每次射击命中目标的概率为, 则此人第 4 次射击恰 好第 2 次命中目标的概率为() (A) 3 p (1 ? p )
2 2

(B) 6 p (1 ? p )
2

2

(C) 3 p (1 ? p )

2

(D) 6 p (1 ? p )

2

(10) 设随机变量 ( X , Y ) 服从二维正态分布,且 X 与 Y 不相关, f x ( x ), f y ( y ) 分别表示 X, Y 的概率密度,则在 Y ? y 条件下, X 的条件概率密度 f X Y ( x y ) 为() (A) f X ( x ) (B) f Y ( y )
fX (x) fY ( y )

(C) f X ( x ) f Y ( y )

(D)

二、填空题:11-16 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上 (11) lim
x ? x ?1
3 2

x? ?

2 ? x
x

3

(s in x ? c o s x ) ? _ _ _ _ _ _ _ _ .

(12) 设函数 y ?

1 2x ? 3

,则 y

(n)

(0 ) ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

51

(13) 设 f ( u , v ) 是二元可微函数, z ? f (
dy dx y x 1 2 y x

y x

,

x y

), 则 x

?z ?x

? y

?z ?y

________.

(14) 微分方程

?

?

(

) 满足 y
3

x ?1

? 1 的特解为 y ? __________.

?0 ? 0 (15) 设距阵 A ? ? ?0 ? ?0

1 0 0 ? ? 0 1 0 ? , 则 A 3 的秩为_______. 0 0 1? ? 0 0 0?
1 2

(16) 在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于

的概率为________.

三、解答题:17-24 小题,共 86 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本题满分 10 分) 设函数 y ? y ( x ) 由方程 y ln y ? x ? y ? 0 确定,试判断曲线 y ? y ( x ) 在点(1,1)附 近的凹凸性。

(18) (本题满分 11 分) 设二元函数
?x . ? f ( x, y) ? ? 1 , ? 2 2 x ? y ?
2

x ? y ? 1. 1 ? x ? y ? 2.

计算二重积分 ?? f ( x , y ) d ? . 其中 D ? ? ( x , y ) x ? y ? 2 ? 。
D

52

(19) (本题满分 11 分) 设函数 f ( x ) , g ( x ) 在 ? a , b ? 上内二阶可导且存在相等的最大值,又 f ( a ) = g ( a ) ,
f ( b ) = g ( b ) ,证明:

(Ⅰ)存在? ? ( a , b ), 使得 f (? ) ? g (? ) ; (Ⅱ)存在 ? ? ( a , b ), 使得 f ''(? ) ? g ''(? ) 。

(20) (本题满分 10 分) 将函数 f ( x ) ?
1 x ? 3x ? 4
2

展开成 x ? 1 的幂级数,并指出其收敛区间。

(21) (本题满分 11 分)
? x1 ? x 2 ? x 3 ? 0 ? ? x1 ? 2 x 2 ? a x 3 ? 0 ? 2 ? x1 ? 4 x 2 ? a x 3 ? 0

设线性方程组

(1)

与方程
x1 ? 2 x 2 ? x 3 ? a ? 1 (2)

有公共解,求 a 的值及所有公共解。

53

(22) (本题满分 11 分) 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 ?1 ? 1, ? 2 ? 2, ? 3 ? ? 2, ? 1 ? (1, ? 1,1) T 是 A 的属于 ? 1 的 一个特征向量。记 B ? A ? 4 A ? E ,其中 E 为 3 阶单位矩阵。
5 3

(Ⅰ)验证 ? 1 是矩阵 B 的特征向量,并求 B 的全部特征值与特征向量; (Ⅱ)求矩阵 B。

(23) (本题满分 11 分) 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为
? 2 ? x ? y , 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1 . f ( x, y) ? ? ?0, 其 他

(Ⅰ)求 P ? X ? 2Y ? ; (Ⅱ)求 Z ? X ? Y 的概率密度 f Z ( z ) 。

(24) (本题满分 11 分) 设总体 X 的概率密度为
? 1 ,? x ??, 0 ? 2? ? 1 ? . f ( x;? ) ? ? , ? ? x ? 1, ? 2 (1 ? ? ) ? 0, 其 他 ? ?

其中参数 ? (0 ? ? ? 1) 未知, X 1 , X 2 , ... X n 是来自总体 X 的简单随机样本, X 是样本均值。
? (Ⅰ)求参数 ? 的矩估计量 ? ;

(Ⅱ)判断 4 X 是否为 ? 的无偏估计量,并说明理由。
2

2

54

2008 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题
一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.

(1)设函数 f ( x ) 在区间 [ ? 1,1] 上连续,则 x ? 0 是函数 g ( x ) ? (A)跳跃间断点. (C)无穷间断点. (B)可去间断点. (D)振荡间断点.

?

x

f (t ) d t
0

的(

x

(2)如图,曲线段方程为 y ? f ( x ) ,函数 f ( x ) 在区间 [ 0 , a ] 上有连续的导数,则定积分

?

a 0

x f ( x )d x 等于(

t

) (B) 梯形 A B O D 面积. (D)三角形 A C D 面积.

(A)曲边梯形 A B O D 面积. (C)曲边三角形 A C D 面积. (3)已知 f ( x , y ) ? e
x ?y
2 4

,则

(A) f x ? ( 0 , 0 ) , f y ? ( 0 , 0 ) 都存在 (B) f x ? ( 0 , 0 ) 不存在, f y ? ( 0 , 0 ) 存在 (C) f x ? ( 0 , 0 ) 存在, f y ? ( 0 , 0 ) 不存在 (D) f x ? ( 0 , 0 ) , f y ? ( 0 , 0 ) 都不存在 (4)设函数 f 连续,若 F ( u , v ) ?

??
Duv

f (x ? y )
2 2

x ? y
2

2

d x d y ,其中 D u v 为图中阴影部分,则

?F ?u

?

55

) (A) v f ( u )
2

(B)

v u

f (u )

2

(C) vf ( u )

(D)

v u

f (u )

(5)设 A 为阶非 0 矩阵, E 为 n 阶单位矩阵,若 A 3 ? 0 ,则( (A) E ? A 不可逆, E ? A 不可逆. (B) E ? A 不可逆, E ? A 可逆. (C) E ? A 可逆, E ? A 可逆. (D) E ? A 可逆, E ? A 不可逆. (6)设 A ? ?
?1 ?2 2? ? 则在实数域上域与 A 合同的矩阵为( 1? 1 ? ?. ?2 ? 1? ?. 2?

(A) ?

? ?2 ? 1 ?2 ?1

(B) ?

? 2 ? ?1

?1? ?. 2 ?
?2 ? ?. 1 ?

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