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04免费2000-2012年考研数学三历年真题


(C) ?

(D) ?

? 1 ? ?2

(7)随机变量 X , Y 独立同分布,且 X 分布函数为 F ? x ? ,则 Z ? m ax ? X , Y ? 分布函 数为( ) (A) F ? x ? .
2

(B) F ? x ? F ? y ? .
2

(C) 1 ? ?1 ? F ? x ? ? . ? ?

(D) ?1 ? F ? x ? ? ?1 ? F ? y ? ? . ? ?? ? )

(8)随机变量 X ~ N ? 0,1 ? , Y ~ N ? 1, 4 ? 且相关系数 ? X Y ? 1 ,则( (A) P ? Y ? ? 2 X ? 1? ? 1 . (C) P ? Y ? ? 2 X ? 1? ? 1 . (B) P ? Y ? 2 X ? 1? ? 1 . (D) P ? Y ? 2 X ? 1? ? 1 .

二、填空题:9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上.

56

? x ? 1, x ? c ? (9)设函数 f ( x ) ? ? 2 在 ( ? ? , ? ? ) 内连续,则 c ? , x ? c ? ? x
2

.

(10)设 f ( x ?

1 x

)?

x? x 1? x

3 4

,则 ?

2 2

2

f ( x )d x ? _ _ _ _ _ _ .
2

(11)设 D ? { ( x , y ) x 2 ? y 2 ? 1} ,则 ?? ( x ? y )d x d y ? ????????????????? .
D

(12)微分方程 x y ? ? y ? 0 满足条件 y (1) ? 1 的解是 y ? ????????????????? . (13)设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1,2,2, E 为 3 阶单位矩阵,则 4 A ? 1 ? E ? _ _ _ _ _ . (14)设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布,则 P ? X ? E X
2

??

????????????????? .

三、解答题:15-23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分 10 分) 求极限 lim
1 x
2

x? 0

ln

s in x x

.

(16) (本题满分 10 分) 设 z ? z ( x , y ) 是由方程 x ? y ? z ? ? ? x ? y ? z ? 所确定的函数, 其中 ? 具有 2 阶导数
2 2

且 ? ? ? ? 1 时. (Ⅰ)求 d z (Ⅱ)记 u ? x , y ? ?
? ?z ?z ? ?u ? . ? ? ,求 x ? y ? ?x ?y ? ?x 1

57

(17) (本题满分 11 分) 计算 ?? m a x ( x y ,1)d x d y , 其中 D ? {( x , y ) 0 ? x ? 2, 0 ? y ? 2} .
D

(18) (本题满分 10 分) 设 f ? x ? 是周期为 2 的连续函数, (Ⅰ)证明对任意的实数 t ,有 ? (Ⅱ)证明 G ? x ? ?
t?2

f
t
t?2

? x ? dx
f

?

?

2

f
0

? x ? dx ;

?

x 0

?2 f t ? ? ? ? ?

?

t

? s ? d s ? d t 是周期为 2 的周期函数. ?
?

(19) (本题满分 10 分) 设银行存款的年利率为 r ? 0 .0 5 ,并依年复利计算,某基金会希望通过存款 A 万元,实 现第一年提取 19 万元,第二年提取 28 万元,…,第 n 年提取(10+9n)万元,并能按此规 律一直提取下去,问 A 至少应为多少万元?

58

(20) (本题满分 12 分) 设 n 元线性方程组 A x ? b ,其中
? 2a ? 2 a A ?? ? ? ? 1 2a ? ? ? a
n
2

? x1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? x 0 ? 2 ? ,b ? ? ? ? ,x ? ? ? ? ??? 1 ? ? ? ? ? ? 2 a ? n? n ?0 ? ? xn ?

(Ⅰ)求证行列式 A ? ? n ? 1 ? a ; (Ⅱ) a 为何值时,该方程组有唯一解,并求 x1 ; (Ⅲ) a 为何值时,方程组有无穷多解,并求通解。

(21) (本题满分 10 分) 设 A 为 3 阶矩阵, a 1 , a 2 为 A 的分别属于特征值 ? 1,1 的特征向量,向量 a 3 满足
A a3 ? a 2 ? a3 ,

(Ⅰ)证明 a 1 , a 2 , a 3 线性无关;
?1 (Ⅱ)令 P ? ? a 1 , a 2 , a 3 ? ,求 P A P .

(22) (本题满分 11 分) 设随机变量 X 与 Y 相互独立,X 的概率分布为 P ? X ? i ? ? 密度为 f Y ? y ? ? ?
?1 ?0 0 ? y ?1 其它
1 3

?i

? ? 1, 0 ,1 ? ,Y 的概率

,记 Z ? X ? Y

59

(Ⅰ)求 P ? Z ?
?

?

1

? X ? 0? ; 2 ?

(Ⅱ)求 Z 的概率密度 f Z ( z ) .

(23) (本题满分 11 分) 设 X 1 , X 2 ,? , X n 是 总 体 为 N ( ? , ? ) 的 简 单 随 机 样 本 . 记 X ?
2

1 n

?
i ?1

n

Xi ,

S

2

?

? (X n ?1
i ?1

1

n

i

? X ) ,T ? X
2

2

?

1 n

S .
2

(Ⅰ)证明 T 是 ? 的无偏估计量.
2

(Ⅱ)当 ? ? 0, ? ? 1 时,求 D T .

60

2009 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题
一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有 一个选项是符合题目要求的,请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1)函数 f ( x ) ? (A)1.
x? x
3

s in ? x

的可去间断点的个数为 (C)3.
2

(B)2.

(D)无穷多个.

(2)当 x ? 0 时, f ( x ) ? x ? sin a x 与 g ( x ) ? x ln (1 ? b x ) 是等价无穷小,则 (A) a ? 1 , b ? ?
1 6

.
1 6

(B) a ? 1 , b ? .

1 6

.
1 6

(C) a ? ? 1 , b ? ? (3)使不等式 ? (A) (0,1) .
x

(D) a ? ? 1 , b ?

.

s in t t

d t ? ln x 成立的 x 的范围是

1

(B) (1,

?
2

).

(C) (

?
2

,? ) .

(D) ( ? , ? ? ) .

(4)设函数 y ? f ? x ? 在区间 ? ? 1, 3 ? 上的图形为

f (x)

1 O -1

-2

1
x

2

3

x

则函数 F ? x ? ?

?

0

f ? t ? d t 的图形为

f (x)

f (x)

1 O -1

1 O 1 -1 2 3

-2 (A)

1

2

3

x
(B)

-2

x

61

f (x)

f (x)

1 O

1 O -1

-1 (C)

1

2

3

x
(D)
? *

-2

1

2

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