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04免费2000-2012年考研数学三历年真题


(C) f ( a ) ? 0
"

(D) f ( a ) ? 0
"

x

(4) 设 f ( x ) ? ln

10

x , g (x) ? x , h( x) ? e

10

,则当 x 充分大时有()

(A) g ( x ) ? h ( x ) ? f ( x ) (C) f ( x ) ? g ( x ) ? h ( x )

(B) h ( x ) ? g ( x ) ? f ( x ) (D) g ( x ) ? f ( x ) ? h ( x )

? ? (5) 设向量组Ⅰ:? 1, ? 2, ? r 可由向量组Ⅱ: ? 1, ? 2, ? s 线性表示,下列命题正确

的是 (A)若向量组Ⅰ线性无关,则 r ? s (C)若向量组Ⅱ线性无关,则 r ? s (B)若向量组Ⅰ线性相关,则 r ? s (D)若向量组Ⅱ线性相关,则 r ? s

2 (6) 设 A 为 4 阶实对称矩阵,且 A ? A ? 0 ,若 A 的秩为 3,则 A 相似于

67

?1 ? (A) ? ? ? ? ?1 ? (C) ? ? ? ?

1 1

? ? ? ? ? 0? ? ? ? ? ? 0?

?1 ? (B) ? ? ? ? ??1 ? (D) ? ? ? ?

1 ?1

? ? ? ? ? 0? ? ? ? ? ? 0?

?1 ?1

?1 ?1

? 0 ? ? 1 (7) 设随机变量的分布函数 F ( x ) ? ? ? 2 ?x ?1 ? e ?

x ? 0 0 ? x ? 1 ,则 P ? X ? 1? ? x ?1
1 2 ?e
?1

(A)0

(B)

1 2

(C)

(D) 1 ? e

?1

(8) 设 f 1 ( x ) 为标准正态分布的概率密度, f 2 ( x ) 为 ? ? 1, 3 ? 上的均匀分布的概率密度, 若 f (x) ? ?
? a f1 ( x ) ?bf2 ( x) x ? 0 x ? 0 ( a ? 0 , b ? 0 ) 为概率密度,则 a , b 应满足

(A) 2 a ? 3 b ? 4 (C) a ? b ? 1

(B) 3 a ? 2 b ? 4 (D) a ? b ? 2

二、填空题:9~14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 设可导函数 y ? y ( x ) 由方程 ?
1 x (1 ? ln x )
2

x? y

e
0

?t

2

dt ?

?

x 0

x sin t d t 确定,则

2

dy dx
x?0

? ______.

(10) 设位于曲线 y ?

x ( e ? x ? ? ? ) 下方, 轴上方的无界区域为 G ,则 G

绕 x 轴旋转一周所得空间区域的体积是______. (11) 设某商品的收益函数为 R ( p ) ,收益弹性为 1 ? p ,其中 p 为价格,且 R (1) ? 1 ,
3

则 R ( p ) ? ______. (12) 若曲线 y ? x ? a x ? b x ? 1 有拐点 ( ? 1, 0 ) ,则 b ? ______.
3 2

(13) 设 A , B 为 3 阶矩阵,且 A ? 3 , B ? 2 , A ? 1 ? B ? 2 ,则 A ? B ? 1 ? ______.

68

(14) 设 x1 , x 2 , x n 为 来 自 整 体 N ( ? , ? )(? ? 0 ) 的 简 单 随 机 样 本 , 记 统 计 量
2

T ?

1 n

?
i ?1

n

X i ,则 E T ? ______.
2

三、解答题:15-23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分 10 分)
1 1 ln x

求极限 lim ( x ? 1)
x x ? ??

(16) (本题满分 10 分) 计算二重积分
x? 2 y ? 0 围成。

?? ( x ?
D

y ) dxdy ,其中 D 由曲线 x ?

3

1? y

2

与直线 x ?

2y ? 0 及

(17) (本题满分 10 分) 求函数 u ? xy ? 2 yz 在约束条件 x ? y ? z ? 1 0 下的最大值和最小值
2 2 2

69

(18) (本题满分 10 分) (Ⅰ)比较 ? ln t ? ln (1 ? t ) ? d t 与 ? t ln t d t ( n ? 1, 2, ? ) 的大小,说明理由
n
0 1 n

1

0

(Ⅱ)设 u n ?

?

1 0

ln t ? ln (1 ? t ) ? d t ( n ? 1, 2, ? ) ,求极限 lim u n
n
n? ?

(19) (本题满分 10 分) 设 函 数 f (x) 在
2 f (0 ) ?

?0, 3? 上 连 续 , 在

(0, 3) 内 存 在 二 阶 导 数 , 且

?

2 0

f ( x ) d x ? f ( 2 ) + f (3) ,

(Ⅰ)证明:存在? ? (0 , 2 ) ,使 f (? ) ? f (0 ) (Ⅱ)证明:存在 ? ? (0 , 3) ,使 f ( ? ) ? 0
"

(20) (本题满分 11 分)
?? ? 设A ? 0 ? ?1 ? 1 1? ?a ? ? ? ? 0 ,b ? 1 ? ? ? ?1 ? ?? ? ? ?

? ?1
1

已知线性方程组 A x ? b 存在 2 个不同的解 (Ⅰ)求 ? , a (Ⅱ)求方程组 A x ? b 的通解
70

(21) (本题满分 11 分)
? 0 ? 设 A ? ?1 ? ? ? 4
1 6
T

?1 3 a

4? ? T a ,正交矩阵 Q 使得 Q A Q 为对角矩阵,若 Q 的第 1 列为 ? ? 0?

( 1 , 2 , 1 ),求 a , Q

(22) (本题满分 11 分) 设 二 维 随 机 变 量 ( X , Y ) 的 概 率 密 度 为 f ( x, y ) ? A e
? ? ? x ? ? ? , ? ? ? y ? ? ? ,求常数 A 及条件概率密度 f Y
X

? 2 x ? 2 xy ? y

2

2

( y x)

(23) (本题满分 11 分) 箱内有 6 个球,其中红,白,黑球的个数分别为 1,2,3,现在从箱中随机的取出 2 个 球,设 X 为取出的红球个数, Y 为取出的白球个数, (Ⅰ)求随机变量 ( X , Y ) 的概率分布 (Ⅱ)求 C o v ( X , Y )

71

2011 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题
一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分。下列每题给出的四个选项中,只有一 个选项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 (1) 已知当 x ? 0 时,函数 f ( x ) ? 3 sin x ? sin 3 x 与是 cx k 等价无穷小,则 (A) k ? 1, c ? 4 (C) k ? 3, c ? 4 (B) k ? 1, c ? ? 4 (D) k ? 3, c ? ? 4
x f (x) ? 2 f (x )
2 3

(2) 已知 f ( x ) 在 x ? 0 处可导,且 f (0 ) ? 0 ,则 lim

x? 0

x

3

?

(A) ? 2 f ( 0 )
'

(B) ? f (0 )
'

(C) f (0 )

'

(D) 0

(3) 设 ? u n ? 是数列,则下列命题正确的是 (A) 若 ? u n 收敛,则 ? ( u 2 n ? 1 ? u 2 n ) 收敛
n ?1 n ?1 ? ? ? ?

(B) 若 ? ( u 2 n ? 1 ? u 2 n ) 收敛,则 ? u n 收敛
n ?1 n ?1 ? ?

(C) 若 ? u n 收敛,则 ? ( u 2 n ? 1 ? u 2 n ) 收敛
n ?1 n ?1
? ?

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