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2016新课标创新人教A版数学必修2 章末小结与测评35


考点 1

求圆的方程

1.求圆的方程的常用方法有待定系数法、几何法等,运用待定系数法时,要充分利用题 目中提供的三个条件来确定三个独立的参数;使用几何法时,要充分利用圆的有关性质,如 垂径定理、“半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形”等. 2.如果已知条件容易求得圆心坐标、半径,则一般选用圆的标准方程,否则选用圆的一 般方程. [典例 1] 过点 A(1,2),且与两坐标轴同时相切的圆的方程为( A.(x-1)2+(y-1)2=1 或(x-5)2+(y-5)2=25 B.(x-1)2+(y-3)2=2 C.(x-5)2+(y-5)2=25 D.(x-1)2+(y-1)2=1 解析:选 A 由题意可设圆心为(a,a),则半径 r=a,圆的方程为(x-a)2+(y-a)2=a2, 又点 A(1,2)在圆上, ∴(1-a)2+(2-a)2=a2,解得 a=1 或 a=5. ∴所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1 或(x-5)2+(y-5)2=25. [对点训练] 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn )

1.经过两点 P(-2,4)、Q(3,-1),且在 x 轴上截得的弦长为 6 的圆的方程. 解:设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,将 P、Q 两点的坐标分别代入,得
?2D-4E-F=20, ? ? ?3D-E+F=-10, ?

又令 y=0,得 x2+Dx+F=0. 由已知,|x1-x2|=6(其中 x1,x2 是方程 x2+Dx+F=0 的两根), ∴D2-4F=36, ② D=-2, ? ? ①、②联立组成方程组,解得?E=-4, ? ?F=-8 D=-6, ? ? 或?E=-8, ? ?F=0.

∴所求圆的方程为 x2+y2-2x-4y-8=0 或 x2+y2-6x-8y=0.

考点 2

直线与圆的位置关系

判断直线和圆的位置关系,一般用代数法或几何法,为避免繁杂的运算,最好用几何法, 其解题思路是:先求出圆心到直线的距离 d,然后比较所求距离 d 与半径 r 的大小关系,进 而判断直线和圆的位置关系. [典例 2] 已知圆 C 和 y 轴相切,圆心在直线 x-3y=0 上,且被直线 y=x 截得的弦长为 2 7,求圆 C 的方程. 解:设圆 C 的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. 由圆 C 与 y 轴相切得|a|=r, ①

又圆心在直线 x-3y=0 上,∴a-3b=0, ② |a-b| 圆心 C(a,b)到直线 y=x 的距离为 d= ,由于弦心距 d,半径 r 及弦的一半构成直 2 角三角形, ∴?

?|a-b|?2+( 7)2=r2. ③ ? ? 2 ?
a2=-3, ? ? 或?b2=-1, ? ?r2=3.

a1=3, ? ? 联立①②③解方程组可得?b1=1, ? ?r1=3

故圆 C 的方程为(x-3)2+(y-1)2=9 或(x+3)2+(y+1)2=9. [对点训练] 2.直线 x+ 3y-2=0 被圆(x-1)2+y2=1 截得的线段的长为( A.1 B. 2 C. 3 D .2 )

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解析:选 C 圆心到直线的距离 d= ∴弦长 l=2 r2-d2= 3.

|1+0-2|
2

1 = , 1 +? 3? 2
2

3.已知直线 l 经过坐标原点,且与圆 x2+y2-4x+3=0 相切,切点在第四象限,则直线 l 的方程为________. 解析:设切线方程为 y=kx,代入圆方程中,得(1+k2)x2-4x+3=0.由 Δ=0,解得 k= - 3? 3? ,所以直线 l 的方程为 x+ 3y=0. 3 ?舍去k= 3 ? 答案:x+ 3y=0

考点 3

圆与圆的位置关系

两个不相等的圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含,其判断方法有两 种:代数法(通过解两圆的方程组成的方程组,根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心 距 d 与半径长 r,R 的大小关系来判断). (1)求相交两圆的弦长时,可先求出两圆公共弦所在直线的方程,再利用相交两圆的几何 性质和勾股定理来求弦长. (2)过圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 与圆 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 的交点的直线 方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0. [典例 3] (2016· 九江高一检测)求与圆 x2+y2-2x=0 外切且与直线 x+ 3y=0 相切于点 M(3,- 3)的圆的方程. 解:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), 由题知所求圆与圆 x2+y2-2x=0 外切, 则 ?a-1?2+b2=r+1. ①

又所求圆过点 M 的切线为直线 x+ 3y=0, 故 b+ 3 = 3. a-3 ②

|a+ 3b| =r. ③ 2 解由①②③组成的方程组得,a=4,b=0,r=2 或 a=0,b=-4 3,r=6. 故所求圆的方程为(x-4)2+y2=4 或 x2+(y+4 3)2=36. [对点训练] 4.两圆 x2+y2=r2,(x-3)2+(y+4)2=4 相切,则正实数 r 的值为__________. 解析:当两圆外切时,两圆心的距离 d=5,由题意,得 r+2=5,∴r=3;当两圆内切 时,由题意知,r-2=5,即 r=7. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

答案:3 或 7

(时间 120 分钟 满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.在空间直角坐标系中,点 A(-3,4,0)与点 B(2,-1,6)的距离是( A.2 43 B.2 21 C.9 D. 86 )

解析:选 D 由空间直角坐标系中两点间距离公式得: |AB|= ?-3-2?2+?4+1?2+?0-6?2= 86. 2.方程 x2+y2+x+y-m=0 表示一个圆,则 m 的取值范围是( 1 ? A.? ?-2,+∞? 1? C.? ?-∞,-2? 1? B.? ?-∞,-2? 1 ? D.? ?-2,+∞? )

1 解析:选 A 由题意得 1+1+4m>0,解得 m>- . 2 3.(2015· 北京高考)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2 解析:选 D r= 12+12= 2,∴所求方程为(x-1)2+(y-1)2=2,选 D. ) )

4.点 A(2a,a-1)在以点 C(0,1)为圆心,半径为 5的圆上,则 a 的值为( A.± 1 1 C.-1 或 5 B.0 或 1 1 D.- 或 1 5

解析:选 D 由题意,已知圆的方程为 x2+(y-1)2=5,将点 A 的坐标代入圆的方程可 1 得 a=1 或 a=- . 5 5.过原点且倾斜角为 60° 的直线被圆 x2+y2-4y=0 所截得的弦长为( A. 3 B .2 C. 6 D.2 3 )

解析:选 D 直线方程为 y= 3x,圆的方程化为 x2+(y-2)2=22,∴r=2,圆心(0,2)到 直线 y= 3x 的距离为 d=1,∴半弦长为 22-12= 3,∴弦长为 2 3. 6.已知过点 P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5 相切,且与直线 ax-y+1=0 垂直,则 a =( ) 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

1 A.- 2

B.1

C.2

1 D. 2

解析:选 C 因为点 P(2,2)为圆(x-1)2+y2=5 上的点,由圆的切线性质可知,圆心(1,0) 与点 P(2,2)的连线与过点 P(2,2)的切线垂直. 因为圆心(1,0)与点 P(2,2)的连线的斜率 k=2, 故 1 过点 P(2,2)的切线斜率为- ,所以直线 ax-y+1=0 的斜率为 2,因此 a=2. 2 7.一条光线从点 A(-1,1)出发,经 x 轴反射到⊙C:(x-2)2+(y-3)2=1 上,则光走过 的最短路程为( A.1 ) C.3 D.4

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