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322013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(陕西卷)


2013 年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)

数学
文科
注意事项: 1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题, 第二部分为非选择题. 2. 考生领到试卷后, 须按规定在试卷上填写姓名、准考证号,并在答题卡上填涂对应的试卷类型 信息. 3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分(共 50 分) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共 10 小题,每小题 5 分, 共 50 分) 1. 设全集为 R, 函数 f ( x) ? 1 ? x 的定义域为 M, 则 CR M 为 (A) (-∞,1) (B) (1, + ∞) (C) (??,1] (D) [1, ??) 2. 已知向量 a ? (1, m), b ? (m, 2) , 若 a//b, 则实数 m 等于 (A) ? 2 (B)
2

(C) ? 2 或 2 (D) 0 3. 设 a, b, c 均为不等于 1 的正实数, 则下列等式中恒成立的是 logc b ? logc a loga a ? loga b (A) loga b· (B) loga b· (C) loga (bc) ? loga b? oga c (D) loga (b ? c) ? loga b ? loga c 4. 根据下列算法语句, 当输入 x 为 60 时, 输出 y 的值为

(A) (B) (C) (D)

25 30 31 61

输入 x If x≤50 Then y = 0.5 * x Else y = 25 + 0.6*(x-50) End If 输出 y

5. 对一批产品的长度(单位: mm)进行抽样检测, 下图为检测结果的频率分布直方图. 根据标准, 产 品长度在区间[20,25)上的为一等品, 在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品, 在区间[10,15)和 [30,35)上的为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取一件, 则其为二等品的概率为 (A) 0.09 (B) 0.20 6. 设 z 是复数, 则下列命题中的假命题是 (A) 若 z 2 ? 0 , 则 z 是实数 (C) 0.25 (D) 0.45

(B) 若 z 2 ? 0 , 则 z 是虚数

(C) 若 z 是虚数, 则 z 2 ? 0 (D) 若 z 是纯虚数, 则 z 2 ? 0 7. 若点(x,y)位于曲线 y = |x|与 y = 2 所围成的封闭区域, 则 2x-y 的最小值为 (A) -6 (B) -2 (C) 0 (D) 2 2 2 8. 已知点 M(a,b)在圆 O : x ? y ? 1 外, 则直线 ax + by = 1 与圆 O 的位置关系是 (A) 相切 (B) 相交 (C) 相离 (D) 不确定 9. 设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 b cos C ? c cos B ? a sin A , 则△ABC 的形状为 (A) 直角三角形 (B) 锐角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 10. 设[x]表示不大于 x 的最大整数, 则对任意实数 x, y, 有

(A) [-x] = -[x] (C) [2x] = 2[x]

1 ] = [x] 2 1 (D) [ x] ? [ x ? ] ? [2 x] 2
(B) [x +

二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) x2 y 2 11. 双曲线 ? . ? 1 的离心率为 16 9 12. 某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为 .

13. 观察下列等式: (1 ? 1) ? 2 ? 1
(2 ? 1)(2 ? 2) ? 22 ? 1 ? 3 (3 ? 1)(3 ? 2)(3 ? 3) ? 23 ? 1 ? 3 ? 5
x 40m

… 照此规律, 第 n 个等式可为 . 40m 14. 在如图所示的锐角三角形空地中 , 欲建一个面积最大的内接矩形花 园(阴影部分), 则其边长 x 为 (m). 15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分) A. ( 不等式选做题 ) 设 a, b∈R, |a - b|>2, 则关于实数 x 的不等式 | x ? a | ? | x ? b |? 2 的解集 是 . B. (几何证明选做题) 如图, AB 与 CD 相交于点 E, 过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长线相交于点 P. 已 C 知 ?A ? ?C , PD = 2DA = 2, 则 PE = . B 2 ?x?t C. (坐标系与参数方程选做题) 圆锥曲线 ? (t 为参数)的焦点坐标 D A ? y ? 2t 是 .
P E

三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (本小题满分 12 分) 1 b. 已知向量 a ? (cos x, ? ), b ? ( 3 sin x,cos 2 x), x ? R , 设函数 f ( x) ? a· 2 (Ⅰ) 求 f (x)的最小正周期. ? ?? (Ⅱ) 求 f (x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?

17. (本小题满分 12 分) 设 Sn 表示数列 {an } 的前 n 项和. (Ⅰ) 若 {an } 为等差数列, 推导 Sn 的计算公式; (Ⅱ) 若 a1 ? 1, q ? 0 , 且对所有正整数 n, 有 Sn ?
1 ? qn . 判断 {an } 是否为等比数列. 1? q

18. (本小题满分 12 分) 如图, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, A1O⊥平面 ABCD, AB ? AA1 ? 2 .
D1 A1 B1 C1

D A O B

C

(Ⅰ) 证明: A1BD // 平面 CD1B1; (Ⅱ) 求三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积.

19. (本小题满分 12 分) 有 7 位歌手(1 至 7 号)参加一场歌唱比赛, 由 500 名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大 众评委分为 5 组, 各组的人数如下: 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 (Ⅰ) 为了调查评委对 7 位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从 B 组中抽取了 6 人. 请将其余各组抽取的人数填入下表. 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数 6 (Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若 A, B 两组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手, 现从这两组被抽到的评委中 分别任选 1 人, 求这 2 人都支持 1 号歌手的概率.

20. (本小题满分 13 分) 已知动点 M(x,y)到直线 l:x = 4 的距离是它到点 N(1,0)的距离的 2 倍. (Ⅰ) 求动点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A, B 两点. 若 A 是 PB 的中点, 求直线 m 的斜率.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e x , x ? R . (Ⅰ) 求 f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程; 1 (Ⅱ) 证明: 曲线 y = f (x) 与曲线 y ? x2 ? x ? 1 有唯一公共点. 2 f (b) ? f (a) ?a?b? (Ⅲ) 设 a<b, 比较 f ? 的大小, 并说明理由. ?与 b?a ? 2 ?

数学(文史类)试题参考答案
一、选择题: 1.B 2.C 3.B 4.C 5.D 6.C 7.A 8.B 9.A 10.D

二、填空题: 11.

5 4

12. 3?

13.

14.20

15.R

6

(1,0)

三、解答题:

 


 

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