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历年考研数学一真题及答案(1987-2015) - 修改


的一个基础解析为 (b11 , b12 ,?, b1,2 n )T , (b21 , b22 ,?, b2,2 n )T ,?, (bn1 , bn 2 ,?, bn,2 n )T . 试写出线性方程组
b11 y1 ? b12 y2 ? ? ? b1,2 n y2 n ? 0 b21 y1 ? b22 y2 ? ? ? b2,2 n y2 n ? 0 ? bn1 y1 ? bn 2 y2 ? ? ? bn ,2 n y2 n ? 0

( Ⅱ)

的通解,并说明理由.

44

十三、 (本题满分 6 分) 设两个随机变量 X , Y 相互独立,且都服从均值为0、方差为 1 的正态分布,求随机变量
2

十五、 (本题满分 4 分) 设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成 绩为66.5分,标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的 平均成绩为70 分?并给出检验过程. 附: t 分布表
P{t (n) ? t p (n)} ? p

X ? Y 的方差.

0.95 35 36 1.6896 1.6883

0.975 2.0301 2.0281

十四、 (本题满分 4 分) 从正态总体 N (3.4, 62 ) 中抽取容量为 n 的样本,如果要求其样本均值位于区间 (1.4, 5.4) 内 的概率不小于0.95,问样本容量 n 至少应取多大? 附:标准正态分布表
? ( x) ? ?
z
? ( x)
z

??

1 ? t2 e dt 2?

2

1.28

1.645

1.96

2.33

0.900 0.950 0.975 0.990
45

1999 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (1) lim( 12 ?
x ?0

(4)设 A 是 m ? n 矩阵, B 是 n ? m 矩阵,则 (A)当 m ? n 时,必有行列式 | AB |? 0 (B)当 m ? n 时,必有行列式 | AB |? 0 (D)当 n ? m 时,必有行列式 | AB |? 0

x

1 ) =_____________. x tan x

(C)当 n ? m 时,必有行列式 | AB |? 0

(2)

d x sin( x ? t ) 2 dt =_____________. ? 0 dx

(5)设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N (0,1) 和 N (1,1) ,则 (A) P{ X ? Y ? 0} ? 1 (C) P{ X ? Y ? 0} ? 1
2
2

(B) P{ X ? Y ? 1} ? 1 (D) P{ X ? Y ? 1} ? 1
2

(3) y?? ? 4 y ? e2 x 的通解为 y =_____________. (4)设 n 阶矩阵 A 的元素全为 1,则 A 的 n 个特征值是 _____________. (5)设两两相互独立的三事件 A, B 和 C 满足条件: ABC ? ?, P( A) ? P( B) ? P(C ) ? 1 ,
2

2

三、(本题满分 6 分) 设 y ? y ( x), z ? z ( x) 是由方程 z ? xf ( x ? y ) 和 F ( x, y, z ) ? 0 所确定的函数,其中 f 和 F 分别具有一 阶连续导数和一阶连续偏导数,求 dz .
dx

且已知 P( A ? B ? C ) ?

9 , 则 P ( A) =_____________. 16

二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一 个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设 f ( x) 是连续函数 , F ( x) 是 f ( x) 的原函数,则 (A)当 f ( x) 是奇函数时 , F ( x) 必是偶函数 (B)当 f ( x) 是偶函数时 , F ( x) 必是奇函数

(C)当 f ( x) 是周期函数时 , F ( x) 必是周期函数 (D)当 f ( x) 是单调增函数时 , F ( x) 必是单调 增函数
?1 ? cos x x?0 (2)设 f ( x) ? ? ,其中 g ( x) 是有界函数,则 x ? 2 ? x g ( x) x ? 0 ?

四、(本题满分 5 分)
f ( x) 在 x ? 0 处

求 I ? ?L (e x sin y ? b( x ? y))dx ? (e x cos y ? ax)dy, 其中 a, b 为正的常数 , L 为从点 A(2a, 0) 沿曲线
y ? 2ax ? x 2

到点 O(0, 0) 的弧.

(A)极限不存在 (C)连续,但不可导 (3)设 f ( x) ? ? ?
1

(B)极限存在,但不连续 (D)可导

0 ? x ?1 ? , S ( x) ? a0 ? ? an cos n? x, ?? ? x ? ??, 1 2 n ?1 2 ? 2x ? x ? 1 ? ? 2 ?x
(n ? 0,1, 2,?) ,则 S ( ? ) 等于

其中 an ? 2?0 f ( x) cos n? xdx (A) 1
2 (C) 3 4

5 2

(B) ? 1

2 (D) ? 3 4
46

五、(本题满分 6 分) 设函数 y( x)( x ? 0) 二阶可导且 y?( x) ? 0, y(0) ? 1. 过曲线 y ? y( x) 上任意一点 P( x, y ) 作该曲线 的切线及 x 轴的垂线 , 上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S1 , 区间 [0, x] 上以
y ? y ( x) 为曲线的曲边梯形面积记为 S2 ,并设 2 S1 ? S 2 恒为

七、(本题满分 6 分) 为清除井底的淤泥,用缆绳将抓斗 放入井底 , 抓起污泥后提出井口 ( 见 图).已知井深 30m,抓斗自重 400N,缆 绳 每 米 重 50N, 抓 斗 抓 起 的 污 泥 重 2000N,提升速度为 3m/s,在提升过程 中,污泥以 20N/s 的速率从抓斗缝隙 中漏掉 . 现将抓起污泥的抓斗提升至 井口,问克服重力需作多少焦耳的功? ( 说明 : ① 1N ? 1m=1Jm,N,s,J 分别 表示米,牛,秒,焦.②抓斗的高度及位

1,求曲线 y ? y( x) 的方程.

六、(本题满分 7 分) 论证:当 x ? 0 时, ( x 2 ? 1) ln x ? ( x ? 1) 2 .

于井口上方的缆绳长度忽略不计.)

47

八、(本题满分 7 分) 设 S 为椭球面 x
2

十、(本题满分 8 分) 为 S 在点 P 处的切平面, ? ( x, y, z )
? a ?1 c ? * b 3? 设矩阵 A ? ? ? 5 ? , 其行列式 | A |? ?1, 又 A 的伴随矩阵 A 有一个特征值 ?0 , 属于 ?0 的 ? ?1 ? c 0 ?a ? ?

2

?

y2 ? z 2 ? 1 的上半部分,点 P( x, y, z ) ? S , ? 2

为点 O(0, 0, 0) 到平面 ? 的距离,求 ??
S

z dS . ? ( x, y , z )

一个特征向量为 α ? (?1, ?1,1)T , 求 a, b, c 和 ?0 的值.

九、(本题满分 7 分) 设 an ? ?04 tan n xdx : (1)求 ? 1 (an ? an? 2 ) 的值.
n ?1 ?

?

n

n 收敛. (2)试证:对任意的常数 ? ? 0, 级数 ? a? n ?1

?

n

48

P(Y ? yi ) ? p? j

1 6

1

十一、(本题满分 6 分) 设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定, B 为 m ? n 实矩阵, B 为 B 的转置矩阵,试证 B
T

T

AB

为正定矩

阵的充分必要条件是 B 的秩 r (B) ? n.

十三、(本题满分 6 分)
? 6x (? ? x) 0< x ? ? 3 设 X 的概率密度为 f ( x) ? ? , X1 , X 2 ,?, X n 是取自总体 X 的简单随机样本 ?? ? 其它 ?0

12345678910111213141516171819202122232425

 


 

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