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历年考研数学一真题及答案(1987-2015) - 修改


(1)求 ? 的矩估计量 ?? . (2)求 ?? 的方差 D(??).

十二、(本题满分 8 分) 设随机变量 X 与 Y 相互独立,下表列出了二维随机变量 ( X , Y ) 联合分布率及关于 X 和关于
Y

的边缘分布率中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处. X
y1
y2
1 8

y3

P( X ? xi ) ? pi?

Y
x1
x2
1 8
49

2000 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (1) ?0 2 x ? x dx =_____________.
2 1

(B)向量组 β1 ,? , β m 可由向量组 α1 ,? , α m 线性表示 (C)向量组 α1 ,? , α m 与向量组 β1 ,? , β m 等价 (D)矩阵 A ? (α1 ,? , α m ) 与矩阵 B ? (β1 ,?, βm ) 等价 (5)设二维随机变量 ( X , Y ) 服从二维正态分布,则随机变量 ? ? X ? Y 与 充分必要条件为 (A) E ( X ) ? E (Y ) (B) E ( X 2 ) ? [ E ( X )]2 ? E (Y 2 ) ? [ E (Y )]2 (D) E ( X 2 ) ? [ E ( X )]2 ? E (Y 2 ) ? [ E (Y )]2
? ? X ?Y

不相关的

(2)曲面 x ? 2 y ? 3z ? 21 在点 (1, ?2, ?2) 的法线方程为_____________.
2 2 2

(3)微分方程 xy?? ? 3 y? ? 0 的通解为_____________.
1 ? ? x1 ? ?1 ? ?1 2 ? ? ? ? ? (4)已知方程组 ? 2 3 a ? 2 ? ? ? x 2 ? ? ? 3? 无解,则 a = _____________. ? ?1 a ?2 ? ?? ? x3 ? ? ? ?0? ?

(C) E ( X 2 ) ? E (Y 2 ) 三、(本题满分 6 分) 求 lim(
x ??

(5)设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为 1 , A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A
9

2 ? ex 1? e
4 x

1

?

sin x ). x

不发生的概率相等,则 P( A) =_____________. 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一 个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设 f ( x) 、 g ( x) 是恒大于零的可导函数,且 f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? 0 ,则当 a ? x ? b 时,有 (A) f ( x) g (b) ? (C) f ( x) g ( x) ?
f (b) g ( x) f (b) g (b)

(B) f ( x) g (a) ? (D) f ( x) g ( x) ?

f ( a ) g ( x) f (a) g (a)

四、(本题满分 5 分) 设 z ? f ( xy, x ) ? g ( x ) ,其中 f y y
?2 z 具有二阶连续偏导数 , g 具有二阶连续导数,求 . ?x?y

(2)设 S : x 2 ? y 2 ? z 2 ? a 2 ( z ? 0), S1 为 S 在第一卦限中的部分,则有 (A) ?? xdS ? 4?? xdS
S S1

(B) ?? ydS ? 4?? xdS
S S1

(C) ?? zdS ? 4?? xdS
S S1

(D) ?? xyzdS ? 4?? xyzdS
S S1

(3)设级数 ? un 收敛,则必收敛的级数为
n ?1

?

(A) ? (?1) n un
n ?1

?

n

(B) ? un2
n ?1

?

(C) ? (u2 n?1 ? u2 n )
n ?1

?

(D) ? (un ? un?1 )
n ?1

?

(4)设 n 维列向量组 α1 ,?, α m (m ? n) 线性无关, 则 n 维列向量组 β1 ,? , β m 线性无关的充分必 要条件为 (A)向量组 α1 ,? , α m 可由向量组 β1 ,? , β m 线性表示
50

五、(本题满分 6 分) 计算曲线积分 I ? ? ? 方向.
L

xdy ? ydx 4x2 ? y 2

,其中 L 是以点 (1, 0) 为中心 , R 为半径的圆周 ( R ? 1), 取逆时针

七、(本题满分 6 分) 求幂级数 ?
1 xn 的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性. n n n n ?1 3 ? ( ?2)
?

六、(本题满分 7 分) 八、(本题满分 7 分) 设 对 于 半 空 间
x?0

内 任 意 的 光 滑 有 向 封 闭 曲 面 其中函数
f ( x)

S,

都 有 设有一半径为 R 的球体 , P0 是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到
P0 距离的平方成正比(比例常数 k ? 0 ),求球体的重心位置.

? ??
S

xf ( x)dydz ? xyf ( x)dzdx ? e 2 x zdxdy ? 0,

在 (0, ??) 内 具 有 连 续 的 一 阶 导 数 , 且

x ?0

lim? f ( x) ? 1, 求 f ( x) .

51

九、(本题满分 6 分) 设函数
f ( x ) 在 [0, ? ] 上连续 , 且

?

?

0

f ( x)dx ? 0,? f ( x) cos xdx ? 0. 试证: 在 (0, ? ) 内至少存在两个
0

?

十、(本题满分 6 分)
?1 0 ?0 1 * ? 设矩阵 A 的伴随矩阵 A ? ?1 0 ? ? 0 ?3 0 0? 0 0? ?, ?1 ?1 1 0 ? 且 ABA ? BA ? 3E ,其中 E 为 4 阶单位矩阵,求矩 ? 0 8?

不同的点 ?1 , ?2 , 使 f (?1 ) ? f (? 2 ) ? 0.

阵B .

52

十一、(本题满分 8 分) 某适应性生产线每年 1 月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将 1 熟练工支援其
6

十二、(本题满分 8 分) 某流水线上每个产品不合格的概率为 p(0 ? p ? 1) ,各产品合格与否相对独立 ,当出现 1 个不合格产品时即停机检修.设开机后第 1 次停机时已生产了的产品个数为 X ,求 X 的数学 期望 E ( X ) 和方差 D( X ) .

他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考 核有 2 成为熟练工.设第 n 年 1 月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为 xn 和 yn , 记
5

成向量 ? n ? . y
?
n

?x ? ?

(1)求 ?

? xn ? ? xn ?1 ? ? xn ? ? xn ?1 ? ? 与 ? ? 的关系式并写成矩阵形式: ? ? ? A ? ?. ? yn ?1 ? ? yn ? ? yn ?1 ? ? yn ?
? 4? ? ? ? ?1? ? ?

(2)验证 η1 ? ? ? , η2 ? ? ? 是 A 的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值. 1 1
?1? ? xn ?1 ? x1 ? ? 2 ? (3)当 ? ? ? ? ? ? 时, 求 ? y ? . ? n ?1 ? ? y1 ? ? 1 ? ? ? ?2?

十三、(本题满分 6 分) 设某种元件的使用寿命 X 的概率密度为 f ( x;? ) ? ?
?2 e ?2( x ?? ) x ? ? x ?? ?0

, 其中 ? ? 0 为未知参数.又

设 x1 , x2 ,? , xn 是 X 的一组样本观测值,求参数 ? 的最大似然估计值.

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2001 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (1) 设 y ? e x (a sin x ? b cos x)(a, b 为任意常数 )为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解 ,

12345678910111213141516171819202122232425

 


 

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