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历年考研数学一真题及答案(1987-2015) - 修改


(B)曲面 z ? (C)曲线 (D)曲线

f ( x, y ) 在 (0, 0, f (0, 0)) 处的法向量为 {3,1,1}

z ? f ( x, y ) y?0 z ? f ( x, y ) y?0

在 (0, 0, f (0, 0)) 处的切向量为 {1, 0, 3} 在 (0, 0, f (0, 0)) 处的切向量为 {3, 0,1}

(3)设 f (0) ? 0 则 f ( x) 在 x =0 处可导 ? 则该方程为_____________. (2) r ? x 2 ? y 2 ? z 2 ,则 div(grad r )
(1, ?2,2)
0

= _____________.
1? y

(3)交换二次积分的积分次序: ? ?1 dy? 2 f ( x, y )dx =_____________. (4)设 A
2

f (1 ? cos h) 存在 h ?0 h2 sin h) (C) lim f (h ? 2 存在 h ?0 h

(A) lim

f (1 ? e h ) 存在 h ?0 h (D) lim f (2h) ? f (h) 存在 h ?0 h

(B)

lim

? A ? 4E ? O ,则 ( A ? 2E)

?1

= _____________.

(5) D( X ) ? 2 ,则根据车贝晓夫不等式有估计 P{ X ? E ( X ) ? 2} ? _____________. 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一

?1 ? (4)设 A ? ?1 ?1 ? ?1

1 1 1? ?4 ? ? 1 1 1? 0 ,B ? ? ?0 1 1 1? ? ? 1 1 1? ?0

0 0 0 0

0 0 0 0

0? ? 0 ? ,则 A 与 B 0? ? 0?

(A)合同且相似 (C)不合同但相似 个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设函数 f ( x) 在定义域内可导, y ?
f ( x) 的图形如右图所示,则 y ? f ?( x) 的图形为

(B)合同但不相似 (D)不合同且不相似

(5)将一枚硬币重复掷 n 次,以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则 X 和 Y 相 关系数为 (A) -1 (C) 1
2

(B)0 (D)1

三、(本题满分 6 分)
e 求 ? arctan 2x e
x

dx .

(A)

(B)

(C)

(D)

(2)设 f ( x, y ) 在点 (0, 0) 的附近有定义,且 f x?(0,0) ? 3, f y? (0,0) ? 1 则 (A) dz |(0,0) ? 3dx ? dy
54

四、(本题满分 6 分) 设函数
d 3 ? ( x) dx
x ?1

六、(本题满分 7 分)
(1,1)

z ? f ( x, y )

在点

可微,且

f (1,1) ? 1, f x?(1,1) ? 2, f y? (1,1) ? 3

, ? ( x) ?

f ( x, f ( x, x))

,求

2 2 2 2 2 2 计算 I ? ? ? L ( y ? z )dx ? (2 z ? x )dy ? (3x ? y )dz , 其中 L 是平面

x ? y ? z ? 2 与柱面

x ? y ?1

.

的交线,从 Z 轴正向看去 , L 为逆时针方向.

五、(本题满分 8 分) 设 f ( x) ?
? 1 ? x2 (?1) n arctan x x ? 0 ,将 f ( x ) 展开成 x 的幂级数,并求 ? x 2 n ?1 1 ? 4n 1 x?0

的和. 七、(本题满分 7 分) 设 f ( x) 在 (?1,1) 内具有二阶连续导数且 f ??( x) ? 0 .证明: (1)对于 ?x ? (?1,0) ? (0,1) ,存在惟一的 ? ( x) ? (0,1) ,使
? ( x) ? 0.5 . (2) lim x ?0
f ( x ) = f (0) + xf ?(? ( x) x) 成立.

55

八、(本题满分 8 分) 设有一高度为 h(t )(t 为时间) 的雪堆在融化过程 ,其侧面满足方程 z ? h(t ) ?
2( x 2 ? y 2 ) (设 h(t )

九、(本题满分 6 分) 设 α1 , α 2 ,?, α s 为线性方程组 AX ? O 的一个基础解系,
β1 ? t1α1 ? t2α 2 , β 2 ? t1α 2 ? t2α3 ,? , β s ? t1α s ? t2α1 ,

长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(系数为 0.9), 问高度为 130 厘米的雪堆全部融化需多少时间?

其中 t1 , t 2 为实常数,试问 t1 , t 2 满足什么条件时 β1 , β 2 ,? , β s 也为 AX ? O 的一个基础解系?

56

率为 p(0 ? p ? 1), 且中途下车与否相互独立. Y 为中途下车的人数,求: (1)在发车时有 n 个乘客的条件下,中途有 m 人下车的概率. (2)二维随机变量 ( X , Y ) 的概率分布. 十、(本题满分 8 分) 已知三阶矩阵 A 和三维向量 x ,使得 x, Ax, A 2 x 线性无关,且满足 A (1)记 P ? ( x, Ax, A 2 x ), 求 B 使 A ? PBP .
?1

3

x ? 3Ax ? 2A 2 x .

(2)计算行列式 A ? E .

十二、(本题满分 7 分) 设
X ?

X ~ N (? ,? 2 )

抽 取 简 单 随 机 样 本 ,求 E (Y ).

X 1 , X 2 ,?, X 2 n (n ? 2),

样 本 均 值

1 2n ? Xi 2n i ?1

,Y

? ? ( X i ? X n ?i ? 2 X ) 2
i ?1

n

十一、(本题满分 7 分) 设某班车起点站上客人数 X 服从参数为 ? (? ? 0) 的泊松分布,每位乘客在中途下车的概
57

2002 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (1) ? ??
e

(C) 当 xlim f ( x) ? 0 时,必有 lim f ?( x) ? 0 ?0 ? x ?0 ?

(D) 当 xlim f ?( x) 存在时,必有 lim f ?( x) ? 0 . ?0 ? x ?0 ?

(4)设有三张不同平面,其方程为 ai x ? bi y ? ci z ? d i ( i ? 1,2,3 )它们所组成的线性方程组的 系数矩阵与增广矩阵的秩都为 2,则这三张平面可能的位置关系为

dx x ln 2 x

= _____________.

(2)已知 e y ? 6 xy ? x 2 ? 1 ? 0 ,则 y??(0) =_____________. (3) yy ?? ? y ? 2 ? 0 满足初始条件 y (0) ? 1, y?(0) ? 1 的特解是_____________.
2

(4) 已知实二次型
2 1

2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) ? a( x1 ? x2 ? x3 ) ? 4x1 x2 ? 4x1 x3 ? 4x2 x3 经正交变换可化为标准

型 f ? 6 y ,则 a =_____________. (5) 设 随 机 变 量 X ~ N ( ? , ? ) , 且 二 次 方 程 y ? 4 y ? X ? 0 无 实 根 的 概 率 为 0.5, 则
2

(5)设 X 和 Y 是相互独立的连续型随机变量 ,它们的密度函数分别为 f X ( x) 和 f Y ( y ) ,分布 函数分别为 FX ( x) 和 FY ( y ) ,则 (A) f X ( x) + f Y ( y ) 必为密度函数 (B) f X ( x) f Y ( y ) 必为密度函数

2

? =_____________.

二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一 个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)考虑二元函数 f ( x, y ) 的四条性质:

(C) FX ( x) + FY ( y ) 必为某一随机变量的分布函数 (D) FX ( x) FY ( y ) 必为某一随机变量的分 布函数.

12345678910111213141516171819202122232425

 


 

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