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历年考研数学一真题及答案(1987-2015) - 修改


三、(本题满分 6 分) ① f ( x, y ) 在点 ( x0 , y 0 ) 处连续, ② f ( x, y ) 在点 ( x0 , y 0 ) 处的一阶偏导数连续, ③ f ( x, y ) 在点 ( x0 , y 0 ) 处可微, ④ f ( x, y ) 在点 ( x0 , y 0 ) 处的一阶偏导数存在. 则有: (A)② ? ③ ? ① (C)③ ? ④ ? ① (2)设 u n ? 0 ,且 lim (A)发散 (C)条件收敛
n ??

设函数

f ( x)

x?0

的某邻域具有一阶连续导数,且

f (0) f ?(0) ? 0

,当 h?0 时,若

af (h) ? bf (2h) ? f (0) ? o(h) ,试求 a, b 的值.

(B)③ ? ② ? ① (D)③ ? ① ? ④
1 为 n ?1 1 n ) ? 1 ,则级数 ? (?1) ( ? u u un n n ?1

(B)绝对收敛 (D)收敛性不能判定.

(3)设函数 f ( x) 在 R 上有界且可导,则
?

(A)当 xlim f ( x) ? 0 时,必有 lim f ?( x) ? 0 ? ?? x ? ??

f ?( x) 存在时,必有 lim f ?( x) ? 0 (B)当 xlim ? ?? x ? ??
58

四、(本题满分 7 分) 已知两曲线 y ?
2 lim nf ( ) . n ?? n
f ( x) 与 y ?

?

arctan x 0

e ? t dt 在点 (0, 0) 处的切线相同.求此切线的方程,并求极限
2

六、(本题满分 8 分) 设函数 f ( x) 在 R 上具有一阶连续导数, L 是上半平面( y >0)内的有向分段光滑曲线,起点 为( a, b ),终点为( c, d ). 记I
?

? y [1 ? y

1

2

f ( xy )]dx ?

x [ y 2 f ( xy ) ? 1]dy , y2

(1)证明曲线积分 I 与路径 L 无关. (2)当 ab ? cd 时,求 I 的值.

五、(本题满分 7 分) 计算二重积分 ?? emax{ x
D
2

, y2 }

dxdy ,其中 D ? {( x, y) | 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1} .

59

七、(本题满分 7 分) (1)验证函数 y ( x) ? ? (2)求幂级数 y ( x) ? ?
?

x 3n ( ? ? ? x ? ?? )满足微分方程 y?? ? y? ? y ? e x . n ? 0 (3n)!

?

x 3n 的和函数. n ? 0 (3n)!

九、(本题满分 6 分) 已 知 四 阶 方 阵 A ? (α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) , α1 , α 2 , α3 , α 4 均 为 四 维 列 向 量 , 其 中 α 2 , α 3 , α 4 线 性 无 关, α1 ? 2α 2 ? α3 .若 β ? α1 ? α 2 ? α3 ? α 4 ,求线性方程组 Ax ? β 的通解.

八、(本题满分 7 分) 设有一小山,取它的底面所在的平面为
xoy

面,其底部所占的区域为

D ? {( x, y) | x 2 ? y 2 ? xy ? 75} ,小山的高度函数为 h( x, y ) ? 75 ? x 2 ? y 2 ? xy .

(1)设 M ( x0 , y 0 ) 为区域 D 上一点,问 h( x, y ) 在该点沿平面上何方向的方向导数最大 ?若此 方向的方向导数为 g ( x0 , y 0 ) ,写出 g ( x0 , y 0 ) 的表达式. (2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登 的起点.也就是说要在 D 的边界线上找出使(1)中 g ( x, y ) 达到最大值的点.试确定攀登起点 的位置.

60

十、(本题满分 8 分) 设 A, B 为同阶方阵, (1)若 A, B 相似,证明 A, B 的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当 A, B 为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.

十二、(本题满分 7 分) 设总体 X 的概率分布为
X

0
?2

1
2? (1 ? ? )

2
?2

3
1 ? 2?

P

其中 ? ( 0 ? ? ? 1 )是未知参数,利用总体 X 的如下样本值
2

3,1,3,0,3,1,2,3.

求 ? 的矩估计和最大似然估计值.

十一、(本题满分 7 分) 设维随机变量 X 的概率密度为
f ( x) ?

1 x cos 2 2 0

0? x? x 其它

对 X 独立地重复观察 4 次,用 Y 表示观察值大于 ? 的次数,求
3

Y2

的数学期望.

61

2003 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分.把答案填在题中横线上)
1

(1) 设函数 f ( x) 在 (??,??) 内连续 , 其导函数的图形如图 所示,则 f ( x) 有 (A)一个极小值点和两个极大值点 (B)两个极小值点和一个极大值点

(1) lim(cos x)
x ?0

ln(1? x 2 )

=

. .

(C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点

(2)曲面 z ? x 2 ? y 2 与平面 2 x ? 4 y ? z ? 0 平行的切平面的方程是 (3)设 x 2 ? ? an cosnx(?? ? x ? ? ) ,则 a2 =
n ?0
2

?

. .
6x 0
a n ? 0 , lim bn ? 1 , lim c n ? ? ,则必有 (2)设 {an },{bn },{cn } 均为非负数列,且 lim n ?? n?? n??

?1? ?1? ? 1? ?1? (4)从 R 的基 α1 ? ? ? , α 2 ? ? ? 到基 β1 ? ? ? , β2 ? ? ? 的过渡矩阵为 ? 0? ? ?1? ? 1? ? 2?

(A) an ? bn 对任意 n 成立
0 ? x ? y ?1 其它

(B) bn ? cn 对任意 n 成立
bn c n 不存在 (D)极限 lim n ??

(5) 设 二 维 随 机 变 量 ( X , Y ) 的 概 率 密 度 为 f ( x, y) ?
P{ X ? Y ? 1} ?

,则

a n c n 不存在 (C)极限 lim n ??

.

(3)已知函数 f ( x, y ) 在点 (0, 0) 的某个邻域内连续,且 lim x ?0 , y ? 0 (A)点 (0, 0) 不是 f ( x, y ) 的极值点 (C)点 (0, 0) 是 f ( x, y ) 的极小值点 (D)根据所给条件无法判断点 (0, 0) 是否为 f ( x, y ) 的极值点

f ( x, y ) ? xy ? 1 ,则 (x 2 ? y 2 )2

(6)已知一批零件的长度 X (单位:cm)服从正态分布 N ( ? ,1) ,从中随机地抽取 16 个零件, 得到长度的平均值为 40 (cm),则 ? 的置信度为 0.95 的置信区间是 (注:标准正态分布函数值 ?(1.96) ? 0.975, ?(1.645) ? 0.95.) .

(B)点 (0, 0) 是 f ( x, y ) 的极大值点

(4)设向量组 I: α1 , α2 ,?, αr 可由向量组 II: β1, β2 ,?, βs 线性表示,则 二、选择题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分.每小题给出的四个选项中,只有一 个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (B)当 r ? s 时,向量组 II 必线性相关 (C)当 r ? s 时,向量组 I 必线性相关 (D)当 r ? s 时,向量组 I 必线性相关 (5)设有齐次线性方程组 Ax ? 0 和 Bx ? 0 ,其中 A, B 均为 m ? n 矩阵,现有 4 个命题: ① 若 Ax ? 0 的解均是 Bx ? 0 的解,则秩 (A) ? 秩 (B ) ② 若秩 (A) ? 秩 (B ) ,则 Ax ? 0 的解均是 Bx ? 0 的解 ③ 若 Ax ? 0 与 Bx ? 0 同解,则秩 (A) ? 秩 (B ) ④ 若秩 (A) ? 秩 (B ) , 则 Ax ? 0 与 Bx ? 0 同解 以上命题中正确的是 (A)①② (C)②④ (6)设随机变量 X ~ t (n)( n ? 1), Y ? (A) Y ~ ? 2 (n) (C) Y ~ F (n,1)
1 ,则 X2

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