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历年考研数学一真题及答案(1987-2015) - 修改


(A)当 r ? s 时,向量组 II 必线性相关

(B)①③ (D)③④

(B) Y ~ ? 2 (n ?1) (D) Y ~ F (1, n)
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三、(本题满分 10 分) 过坐标原点作曲线 y ? ln x 的切线,该切线与曲线 y ? ln x 及 x 轴围成平面图形 D . (1)求 D 的面积 A . (2)求 D 绕直线 x ? e 旋转一周所得旋转体的体积 V .

五 、(本题满分 10 分) 已知平面区域 D ? {( x, y) 0 ? x ? ? ,0 ? y ? ? }, L 为 D 的正向边界.试证:
sin y ? sin x ? sin y sin x (1) ? ? L x e dy ? y e dx ? ? ? L x e dy ? y e dx . sin y ? sin x 2 (2) ? ? L x e dy ? y e dx ? 2? .

四、(本题满分 12 分) 将函数 f ( x) ? arctan
? 1 ? 2x (?1) n 展开成 x 的幂级数,并求级数 ? 的和. 1 ? 2x n ?0 2n ? 1

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六 、(本题满分 10 分) 某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层 .汽锤每次击打 ,都将克服土层对桩的 阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为 k .k ? 0 ). 汽锤第一次击打将桩打进地下 a m.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一

七 、(本题满分 12 分) 设函数 y ? y( x) 在 (??,??) 内具有二阶导数,且 y ? ? 0, x ? x( y) 是 y ? y( x) 的反函数. (1)试将 x ? x( y) 所满足的微分方程 程.
d 2x dx ? ( y ? sin x)( ) 3 ? 0 变换为 y ? y ( x) 满足的微分方 2 dy dy

次击打时所作的功之比为常数 r (0 ? r ? 1) .问 (1)汽锤击打桩 3 次后,可将桩打进地下多深?(2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打 进地下多深?(注:m 表示长度单位米.)

(2)求变换后的微分方程满足初始条件 y (0) ? 0, y ?(0) ? 的解.

3 2

64

八 、(本题满分 12 分) 设函数 f ( x) 连续且恒大于零,
F (t ) ?

九 、(本题满分 10 分)
?3 2 2? ?0 1 0 ? ? ? ? * ?1 * 设矩阵 A ? ? 2 3 2 ? , P ? ? ?1 0 1 ? , B ? P A P ,求 B ? 2E 的特征值与特征向量,其中 A 为 ? ? ?2 2 3? ? ?0 0 1 ? ?

??? f ( x
?(t ) D (t )

2

? y 2 ? z 2 )dv
2 2

??

f ( x ? y )d?

, G (t ) ?

D (t )

?? f ( x ?
t ?1

2

? y 2 ) d?

f ( x 2 ) dx

,

A 的伴随矩阵, E 为 3 阶单位矩阵.

其中 ?(t ) ? {( x, y, z ) x 2 ? y 2 ? z 2 ? t 2 } , D(t ) ? {( x, y ) x 2 ? y 2 ? t 2 }. (1)讨论 F (t ) 在区间 (0,??) 内的单调性. (2)证明当 t ? 0 时, F (t ) ?
2

?

G (t ).

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十 、(本题满分 8 分) 已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1 :
ax ? 2by ? 3c ? 0 , l 2 : bx ? 2cy ? 3a ? 0 , l3 :

cx ? 2ay ? 3b ? 0 .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a ? b ? c ? 0.

十二 、(本题满分 8 分) 设总体 X 的概率密度为
f ( x) ?

2 e?2( x ?? ) x ? ? x?0 0

? ? min(X , X ,?, X ). 其中 ? ? 0 是未知参数. 从总体 X 中抽取简单随机样本 X 1 , X 2 ,?, X n ,记? 1 2 n

(1)求总体 X 的分布函数 F ( x) .(2)求统计量 ?? 的分布函数 F?? ( x) .(3)如果用 ?? 作为? 的估 计量,讨论它是否具有无偏性. 十一 、(本题满分 10 分) 已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品,乙箱中仅 装有 3 件合格品. 从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后,求: (1)乙箱中次品件数的数学期望. (2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.

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2004 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分.把答案填在题中横线上) (1)曲线 y ? ln x 上与直线 x ? y ? 1 垂直的切线方程为__________ . (2)已知 f ?(ex ) ? x e? x ,且 f (1) ? 0 ,则 f ( x) =__________ . (3) 设 L 为正向圆周 x 2 ? y 2 ? 2 在第一象限中的部分 , 则曲线积分 ?L xdy ? 2 ydx 的值为 __________. (4)欧拉方程 x 2
d y dy ? 4 x ? 2 y ? 0( x ? 0) 的通解为__________ . 2 dx dx
2

na n =0,则级数 ? an 收敛 (A)若 lim n??
n ?1

?

na n ? ? ,则级数 ? an 发散 (B)若存在非零常数 ? ,使得 lim n ??
n ?1

?

n 2 an ? 0 (C)若级数 ? an 收敛,则 lim n ??
n ?1

?

na n ? ? (D)若级数 ? an 发散, 则存在非零常数 ? ,使得 lim n ??
n ?1

?

(10)设 f ( x) 为连续函数, F (t ) ? ?1 dy?y f ( x)dx ,则 F ?(2) 等于 (A) 2 f (2) (C) ? f (2) (B) f (2) (D) 0

t

t

?2 1 0? ? * * * (5)设矩阵 A ? ? ? 1 2 0 ? ,矩阵 B 满足 ABA ? 2BA ? E ,其中 A 为 A 的伴随矩阵, E 是单位 ? ?0 0 1 ? ?

(11)设 A 是 3 阶方阵,将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B ,再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C , 则满足 AQ ? C 的可逆矩阵 Q 为
?0 1 0 ? ? (A) ? ?1 0 0 ? ? ?1 0 1 ? ? ?0 1 0 ? ? (C) ? ?1 0 0 ? ? ?0 1 1 ? ? ?0 1 0 ? ? (B) ? ?1 0 1 ? ? ?0 0 1 ? ? ?0 1 1 ? ? (D) ? ?1 0 0 ? ? ?0 0 1 ? ?

矩阵,则 B =__________ . (6)设随机变量 X 服从参数为 ? 的指数分布,则 P{X ? DX }= __________ . 二、选择题(本题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分.每小题给出的四个选项中,只有一 个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)把 x ? 0 ? 时的无穷小量 ? ? ?0 cost 2 dt, ? ? ?0 tan t dt, ? ? ?0 sin t 3 dt ,使排在后面的是前一 个的高阶无穷小,则正确的排列次序是 (A) ? , ? , ? (C) ? , ? , ? (B) ? , ? , ? (D) ? , ? , ?
x x2 x

(12)设 A, B 为满足 AB ? O 的任意两个非零矩阵,则必有 (A) A 的列向量组线性相关 , B 的行向量组线性相关 (B) A 的列向量组线性相关 , B 的列向量组线性相关 (C) A 的行向量组线性相关 , B 的行向量组线性相关 (D) A 的行向量组线性相关 , B 的列向量组线性相关 (13)设随机变量 X 服从正态分布 N (0,1), 对给定的 ? (0 ? ? ? 1) ,数 u? 满足 P{X ? u? } ? ? ,若
P{ X ? x} ? ? ,则 x 等于

(8)设函数 f ( x) 连续,且 f ?(0) ? 0, 则存在 ? ? 0 ,使得 (A) f ( x) 在(0, ? ) 内单调增加 (C)对任意的 x ? (0, ? ) 有 f ( x) ? f (0) (9)设 ? an 为正项级数,下列结论中正确的是
n ?1 ?

12345678910111213141516171819202122232425

 


 

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