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历年考研数学一真题及答案(1987-2015) - 修改


(B) f ( x) 在 (?? ,0) 内单调减少 (D)对任意的 x ? (?? ,0) 有 f ( x) ? f (0)

(A) u ?
2

(B) u

1?

?
2

(C) u1??
2

(D) u1??

67

(16)(本题满分 11 分) (14)设随机变量 X 1 , X 2 ,?, X n (n ? 1) 独立同分布,且其方差为 ? 2 ? 0. 令 Y ? (A) Cov( X 1 , Y ) ? (C) D( X 1 ? Y ) ?
?2
n
n?2 2 ? n

1 n ? X i ,则 n i ?1

某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以 增大阻力,使飞机迅速减速并停下.

(B) Cov( X1, Y ) ? ? 2 (D) D( X 1 ? Y ) ?
n ?1 2 ? n

现有一质量为 9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为 700km/h 经测试,减速伞打开后, 飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 k ? 6.0 ? 106 ). 问从着陆点算起,飞机 滑行的最长距离是多少?

三、解答题(本题共 9 小题,满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分 12 分) 设 e ? a ? b ? e2 ,证明 ln 2 b ? ln 2 a ?
4 (b ? a ) . e2

(注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时)

68

(17)(本题满分 12 分) 计算曲面积分 I ? ?? 2 x3dydz ? 2 y 3dzdx ? 3( z 2 ? 1)dxdy , 其中 ? 是曲面 z ? 1 ? x 2 ? y 2 ( z ? 0) 的上
?

侧. (19)(本题满分 12 分) 设 z ? z ( x, y) 是由 x2 ? 6xy ? 10 y2 ? 2 yz ? z 2 ? 18 ? 0 确定的函数,求 z ? z ( x, y) 的极值点和极值.

(18)(本题满分 11 分) 设有方程 xn ? nx ? 1 ? 0 ,其中 n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根 xn ,并证明当 ? ? 1
? 时,级数 ? xn 收敛.
n ?1 ?

69

(20)(本题满分 9 分)
? (1 ? a) x1 ? x2 ? ? ? xn ? 0, ?2 x ? (2 ? a) x ? ? ? 2 x ? 0, ? 2 n 设有齐次线性方程组 ? 1 ?????? ? ? ? nx1 ? nx2 ? ? ? (n ? a ) xn ? 0,

(21)(本题满分 9 分)
? 1 2 ?3 ? ? 设矩阵 A ? ? ? ?1 4 ?3? 的特征方程有一个二重根 , 求 a 的值 , 并讨论 A 是否可相似对角 ? ?1 a 5? ?

(n ? 2) ,

化.

试问 a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.

70

(22)(本题满分 9 分) 设 A, B 为随机事件,且 P( A) ? , P( B | A) ? , P( A | B) ? ,令
?1, A发生, X ?? ?0, A不发生; ?1, B发生, Y ?? ?0, B不发生.
1 4 1 3 1 2

(23)(本题满分 9 分) 设总体 X 的分布函数为
1 ? ?1 ? ? , x ? 1, F ( x, ? ) ? ? x x ? 1, ? ? 0,

求:(1)二维随机变量 ( X , Y ) 的概率分布.

(2) X 和 Y 的相关系数 ? XY .

其中未知参数 ? ? 1, X 1 , X 2 ,?, X n 为来自总体 X 的简单随机样本, 求:(1) ? 的矩估计量. (2) ? 的最大似然估计量.

71

2005 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分.把答案填在题中横线上)

(A) (C)

? 2u ? 2u ? ? ?x 2 ?y 2 ? 2u ? 2u ? ?x?y ?y 2

(B) (D)

? 2u ? 2u ? ?x 2 ?y 2
? 2u ? 2u ? ?x?y ?x 2

(10)设有三元方程 xy ? z ln y ? exz ? 1 ,根据隐函数存在定理 ,存在点 (0,1,1) 的一个邻域,在 (1)曲线 y ?
x2 的斜渐近线方程为 _____________. 2x ? 1
1 9

此邻域内该方程 (A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 z ? z ( x, y) =.________. (B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x ? x( y, z ) 和 z ? z ( x, y) (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y ? y( x, z ) 和 z ? z ( x, y) (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x ? x( y, z ) 和 y ? y( x, z ) (11) 设 ?1 , ?2 是 矩 阵 A 的 两 个 不 同 的 特 征 值 , 对 应 的 特 征 向 量 分 别 为 α1 , α 2 , 则 .
α1 , A(α1 ? α 2 ) 线性无关的充分必要条件是

(2)微分方程 xy? ? 2 y ? x ln x 满足 y (1) ? ? 的解为____________. (3)设函数 u( x, y, z ) ? 1 ?
? x2 y2 z 2 1 ?u ? ? ,单位向量 n ? {1,1,1} ,则 ?n 6 12 18 3
2 2 2 2 2

(1, 2 , 3)

(4) 设 ? 是由锥面 z ? x ? y 与半球面 z ? R ? x ? y 围成的空间区域 , ? 是 ? 的整个 边界的外侧,则 ?? xdydz? ydzdx? zdxdy ? ____________.
?

(5)设 α1 , α 2 , α3 均为 3 维列向量,记矩阵
A ? (α1 , α2 , α3 ) , B ? (α1 ? α2 ? α3 , α1 ? 2α2 ? 4α3 , α1 ? 3α2 ? 9α3 ) ,如果 A ? 1 ,那么 B ?

(6) 从数 1,2,3,4 中任取一个数 , 记为 X , 再从 1,2,?, X 中任取一个数 , 记为 Y , 则
P{Y ? 2} =____________.

(A) ?1 ? 0 (C) ?1 ? 0

(B) ?2 ? 0 (D) ?2 ? 0

(12)设 A 为 n(n ? 2) 阶可逆矩阵,交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B.A* , B* 分别为 A, B 的伴 二、选择题(本题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分.每小题给出的四个选项中,只有一 随矩阵,则 项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)设函数 f ( x) ? lim n 1 ? x n?? (A)处处可导 (C)恰有两个不可导点
3n

,则 f ( x) 在 (??,??) 内 (B)恰有一个不可导点

(A)交换 A* 的第 1 列与第 2 列得 B* (C)交换 A* 的第 1 列与第 2 列得 ?B* (13)设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率分布为 (D)至少有三个不可导点 X 0 Y 0 0.4
b

(B)交换 A* 的第 1 行与第 2 行得 B* (D)交换 A* 的第 1 行与第 2 行得 ?B*

(8)设 F ( x) 是连续函数 f ( x) 的一个原函数, " M ? N " 表示 " M 的充分必要条件是 N ", 则必 有

1
a

(A) F ( x) 是偶函数 ? f ( x) 是奇函数 (C) F ( x) 是周期函数 ? f ( x) 是周期函数
x? y

(B) F ( x) 是奇函数 ? f ( x) 是偶函数 (D) F ( x) 是单调函数 ? f ( x) 是单调函数 已知随机事件 {X ? 0} 与 {X ? Y ? 1} 相互独立,则 (A) a ? 0.2, b ? 0.3 (B) a ? 0.4, b ? 0.1
72

1 (9)设函数 u( x, y) ? ? ( x ? y) ? ? ( x ? y) ? ?x? y? (t )dt , 其中函数 ? 具有二阶导数,? 具有一阶 导数,则必有

0.1

(C) a ? 0.3, b ? 0.2

(D) a ? 0.1, b ? 0.4

(17)(本题满分 11 分) 如图 , 曲线 C 的方程为 y ? f ( x) , 点 (3, 2) 是它的一个拐 点,直线 l1 与 l 2 分别是曲线 C 在点 (0, 0) 与 (3, 2) 处的切线,其交

12345678910111213141516171819202122232425

 


 

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