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历年考研数学一真题及答案(1987-2015) - 修改


三、解答题(本题共 9 小题,满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分 10 分) 设区域 D= ?? x, y ? x 2 ? y 2 ? 1, x ? 0? ,计算二重积分 I ? ??
1 ? xy dxdy . 1 ? x2 ? y 2 D

(17)(本题满分 12 分) 将函数 f ? x ? ?
x 展开成 x 的幂级数. 2 ? x ? x2

(18)(本题满分 12 分) 设函数 f ?u ? 在? 0, ???内具有二阶导数, 且 z ? f (16)(本题满分 12 分) 设数列 ?xn ? 满足 0 ? x1 ? ? , x? ?1 ? sin xn ? n ? 1,2,...? .
xn 存在,并求之. 求:(1)证明 lim x ??

?

x ?y
2

2

?

?2 z ?2 z 满足等式 2 ? 2 ? 0 . ?x ?y

(1)验证 f ?? ? u ? ?
1

f ? ?u ? ? 0. u

(2)若 f ?1? ? 0, f ? ?1? ? 1, 求函数 f (u ) 的表达式.

(2)计算 lim ?

? xn?1 ? xn ? . x ?? ? xn ?
2

77

(19)(本题满分 12 分) 设在上半平面 D ? ?? x, y ? y ? 0? 内,数 f ? x, y ? 是有连续偏导数,且对任意的 t ? 0 都有
f ?tx, ty ? ? t 2 f ? x, y ? .

(20)(本题满分 9 分) 已知非齐次线性方程组
? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ?1 ? ?4 x1 ? 3x2 ? 5 x3 ? x4 ? ?1 ?ax ? x ? 3x ? bx ? 1 3 4 ? 1 2

证明: 对 L 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 L ,都有 ? ? yf ( x, y)dx ? xf ( x, y)dy ? 0 .
L

有 3 个线性无关的解, (1)证明方程组系数矩阵 A 的秩 r ? A? ? 2 . (2)求 a , b 的值及方程组的通解.

78

(21)(本题满分 9 分)
T T 设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3,向量 α1 ? ? ?1, 2, ?1? , α 2 ? ? 0, ?1,1? 是线性方

(1)求 Y 的概率密度 fY ? y ? .
? (2) F ? ? ? ,4? . 2 1 ? ?

程组 Ax ? 0 的两个解. (1)求 A 的特征值与特征向量. (2)求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A ,使得 QT AQ ? A .

(23)(本题满分 9 分) 设总体 X 的概率密度为 F ( X , 0) ?
? 0 ? x ?1 1 ? ? 1 ? x ? 2 ,其中 ? 是未知参数 (0 ? ? ? 1) , X1 , X 2 ..., X n 0 其它

为来自总体 X 的简单随机样本,记 N 为样本值 x1, x2 ..., xn 中小于 1 的个数,求 ? 的最大似然估 计.

(22)(本题满分 9 分)
?1 ? 2 , ?1 ? x ? 0 ? ?1 随机变量 x 的概率密度为 f x ? x ? ? ? , 0 ? x ? 2 令y ? x 2 , F ? x, y ? 为二维随机变量 ( X , Y ) 的分 ?4 ?0, 其它 ? ?

布函数.
79

2007 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、选择题(本题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分,在每小题给的四个选项中,只有 一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内) (1)当 x ? 0 时,与 x 等价的无穷小量是
?

(6)设曲线 L : f ( x, y) ? 1 ( f ( x, y ) 具有一阶连续偏导数),过第 2 象限内的点 M 和第Ⅳ象限 内的点 N , ? 为 L 上从点 M 到 N 的一段弧,则下列小于零的是 (A) ?? ( x, y )dx (C) ?? f ( x, y )ds (B) ?? f ( x, y )dy (D) ?? f 'x ( x, y)dx ? f ' y ( x, y)dy

(7)设向量组 α1 , α 2 , α3 线性无关,则下列向量组线形相关的是
1? x (B) ln 1? x

(A) α1 ? α2 , α2 ? α3 , α3 ? α1 (C) α1 ? 2α2 , α2 ? 2α3 , α3 ? 2α1

(B) α1 ? α2 , α2 ? α3 , α3 ? α1 (D) α1 ? 2α2 , α2 ? 2α3 , α3 ? 2α1

(A) 1 ? e

x

(C) 1 ? x ? 1 (2)曲线 y ? ? ln(1 ? e x ) ,渐近线的条数为 (A)0 (C)2
1 x

(D) 1 ? cos x

? 2 ?1 ?1 ? ?1 0 0? ? ? ? (8)设矩阵 A ? ? ?1 2 ?1? , B ? ? ? 0 1 0 ? ,则 A 与 B ? ? 1 ?1 2 ? ?0 0 0? ? ? ? ?

(B)1 (D)3

(A)合同,且相似 (C)不合同,但相似

(B)合同,但不相似 (D)既不合同,也不相似

(3) 如图 , 连续函数 y ? f ( x) 在区间 [?3, ?2],[2,3] 上的图 形分别是直径为 1 的上、下半圆周,在区间 [?2, 0],[0, 2] 的图 形分别是直径为 2 的上、下半圆周,设 F ( x) ? ?0 f (t )dt .则下 列结论正确的是 (A) F (3) ? ? F (?2) (C) F (3) ? F (2)
3 4
3 4
x

(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为 p ? 0 ? p ? 1? ,则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为 (A) 3 p(1 ? p)2 (C) 3 p2 (1 ? p)2 (B) 6 p(1 ? p)2 (D) 6 p2 (1 ? p)2

(B) F (3) ? F (2) (D) F (3) ? ? F (?2)
5 4

5 4

(10)设随即变量 ( X , Y ) 服从二维正态分布,且 X 与 Y 不相关, fX ( x) , fY ( y) 分别表示 X , Y 的 概率密度,则在 Y ? y 的条件下, X 的条件概率密度 fX | Y ( x | y) 为 (A) fX ( x) (C) fX ( x) fY ( y) (B) fY ( y) (D)
fX ( x ) fY ( y )

(4)设函数 f ( x) 在 x ? 0 处连续,下列命题错误的是
f ( x) 存在,则 f (0) ? 0 x f ( x) (C)若 lim 存在,则 f ?(0) ? 0 x?0 x

(A)若 lim x?0

f ( x) ? f (? x) 存在,则 f (0) ? 0 x f ( x) ? f (? x) (D)若 lim 存在,则 f ?(0) ? 0 x ?0 x

(B)若 lim x ?0

(5)设函数 f ( x) 在(0, + ? )上具有二阶导数,且 f "( x) ? 0 , 令 un ? f (n) ? 1, 2,?, n, 则下列结 论正确的是 (A)若 u1 ? u2 ,则{ un }必收敛 (C)若 u1 ? u2 ,则{ un }必收敛 (B)若 u1 ? u2 ,则{ un }必发散 (D)若 u1 ? u2 ,则{ un }必发散

二、填空题(11-16 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上) (11) ?1
2

1 1 e x dx =_______. 3 x
?z ?x

(12)设 f (u, v) 为二元可微函数, z ? f ( x y , y x ) ,则

=______.

80

(13)二阶常系数非齐次线性方程 y ''? 4 y '? 3 y ? 2e2 x 的通解为 y =____________. (14)设曲面 ?:| x | ? | y | ? | z |? 1 ,则 ? ?? ( x? | y |)ds =_____________.
?

(18)(本题满分 10 分) 计算曲面积分 I ? ?? xzdydz ? 2 zydzdx ? 3xydxdy, 其中 ? 为曲面 z ? 1 ? x 2 ?
?

?0 ? 0 (15)设矩阵 A ? ? ?0 ? ?0

1 0 0 0

0 1 0 0

0? ? 0? ,则 A 3 的秩为________. 1? ? 0?
1 的概率为 2

y2 (0 ? z ? 1) 的上侧. 4

12345678910111213141516171819202122232425

 


 

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