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历年考研数学一真题及答案(1987-2015) - 修改


(16) 在 区 间 (0,1) 中 随 机 地 取 两 个 数 , 则 这 两 个 数 之 差 的 绝 对 值 小 于 ________.

三、解答题(17-24 小题,共 86 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤) (17)(本题满分 11 分) 求函数 f ( x, y) ? x2 ? 2 y 2 ? x2 y 2 在区域 D ? {( x, y) | x2 ? y 2 ? 4, y ? 0}上的最大值和最小值. (19)(本题满分 11 分) 设 函 数 f ( x), g ( x) 在 [a, b] 上 连 续 , 在 (a, b) 内 具 有 二 阶 导 数 且 存 在 相 等 的 最 大 值, f (a) ? g (a), f (b) ? g (b) ,证明:存在 ? ? (a, b) ,使得 f ??(? ) ? g ??(? ) .

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(20)(本题满分 10 分) 设 幂 级 数

(21)(本题满分 11 分)
n n

?a x
n ?0

?

在 (??, ??) 内 收 敛 , 其 和 函 数 y( x) 满 足
? x1 ? x2 ? x3 ? 0 ? 设线性方程组 ? x1 ? 2 x2 ? ax3 ? 0 , 与方程 x1 ? 2x2 ? x3 ? a ?1, 有公共解 , 求 a 的值及所有公 ?x ? 4x ? a2 x ? 0 2 3 ? 1

y?? ? 2 xy? ? 4 y ? 0, y(0) ? 0, y?(0) ? 1.

(1)证明: an? 2 ?

2 an , n ? 1, 2,?. n ?1

共解.

(2)求 y( x) 的表达式.

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(22)(本题满分 11 分) 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征向量值 ?1 ? 1, ?2 ? 2, ?3 ? ?2.α1 ? (1, ?1,1)T 是 A 的属于特征值 ?1 的 一个特征向量,记 B ? A5 ? 4A3 ? E, 其中 E 为 3 阶单位矩阵. (1)验证 α1 是矩阵 B 的特征向量,并求 B 的全部特征值与特征向量. (2)求矩阵 B .

(24)(本题满分 11 分)
? 1 ? 2? , 0 ? x ? ? ? ? 1 ,? ? x ? 1 设总体 X 的概率密度为 f ( x;? ) ? ? ? 2(1 ? ? ) ? 0, 其他 ? ?

X1 , X 2 ?, X n 是来自总体 x 的简单随机样本, X 是样本均值

(1)求参数 ? 的矩估计量 ?? . (2)判断 4 X 2 是否为 ? 2 的无偏估计量,并说明理由.

(23)(本题满分 11 分) 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x, y) ? ? (1)求 P{X ? 2Y }.
?2 ? x ? y,0 ? x ? 1,0 ? y ? 1 0, 其他 ?

(2)求 Z ? X ? Y 的概率密度.

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2008 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、选择题(1-8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)设函数 f ( x) ? ?0 ln(2 ? t )dt 则 f ?( x) 的零点个数 (A)0 (C)2
x y
x2

(7)设随机变量 X , Y 独立同分布且 X 分布函数为 F ? x? ,则 Z ? max ? X , Y? 分布函数为 (A) F 2 ? x ? (C) 1 ? ? ?1 ? F ? x ?? ?
2

(B) F ? x ? F ? y ? (D) ? ?1 ? F ? x ? ? ?? ?1 ? F ? y ? ? ?

(B)1 (D)3

(8)设随机变量 X ~ N ? 0,1? , Y ~ N ?1,4? 且相关系数 ? XY ? 1 ,则 (A) P?Y ? ?2 X ?1? ? 1 (C) P?Y ? ?2 X ?1? ? 1 (B) P?Y ? 2 X ?1? ? 1 (D) P?Y ? 2 X ? 1? ? 1

(2)函数 f ( x, y) ? arctan 在点 (0,1) 处的梯度等于 (A) i (C) j (B)- i (D) ? j

(3)在下列微分方程中,以 y ? C1ex ? C2 cos 2x ? C3 sin 2x ( C1, C2 , C3 为任意常数)为通解的是 (A) y??? ? y?? ? 4 y? ? 4 y ? 0 (C) y??? ? y?? ? 4 y? ? 4 y ? 0 (B) y??? ? y?? ? 4 y? ? 4 y ? 0 (D) y??? ? y?? ? 4 y? ? 4 y ? 0

二、填空题(9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上.) (9)微分方程 xy? ? y ? 0 满足条件 y ?1? ? 1 的解是 y ? ????????????????? . (10)曲线 sin ? xy ? ? ln ? y ? x ? ? x 在点 ? 0,1? 处的切线方程为 ????????????????? . (11)已知幂级数 ? an ? x ? 2 ?n 在 x ? 0 处收敛,在 x ? ?4 处发散,则幂级数 ? an ? x ? 3?n 的收敛
n ?0 n ?0 ? ?

(4)设函数 f ( x) 在 (??, ??) 内单调有界, ?xn ? 为数列,下列命题正确的是 (A)若 ?xn ? 收敛,则 ? f ( xn )? 收敛 (C)若 ? f ( xn )? 收敛,则 ?xn ? 收敛 (B)若 ?xn ? 单调,则 ? f ( xn )? 收敛 (D)若 ? f ( xn )? 单调,则 ?xn ? 收敛

域为 ????????????????? . (12)设曲面 ? 是 z ? 4 ? x 2 ? y 2 的上侧,则 ?? xydydz ? xdzdx ? x2dxdy ? ????????????????? .
?

(5)设 A 为 n 阶非零矩阵, E 为 n 阶单位矩阵. 若 A3 ? 0 ,则 (A) E ? A 不可逆, E ? A 不可逆 (C) E ? A 可逆, E ? A 可逆 (B) E ? A 不可逆, E ? A 可逆 (D) E ? A 可逆, E ? A 不可逆

(13)设 A 为 2 阶矩阵, α1 , α 2 为线性无关的 2 维列向量, Aα1 ? 0, Aα2 ? 2α1 ? α2 ,则 A 的非零 特征值为 ????????????????? . (14)设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布,则 P ? X ? EX 2 ? ? ????????????????? . 三、解答题(15-23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤.)

(6) 设 A 为 3 阶 实 对 称 矩 阵 , 如 果 二 次 曲 面 方 程
?x? ? ? ( x, y, z ) A ? y ? ? 1 在正交变换下的标准方程的图形如图 , 则 ?z ? ? ?
A 的正特征值个数为

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(15)(本题满分 10 分)
?sin x ? sin ? sin x ? ? ? sin x . 求极限 lim ? x ?0 x4

(17)(本题满分 10 分) 已知曲线 C : ?
? x2 ? y 2 ? 2 z 2 ? 0 ,求曲线 C 距离 XOY 面最远的点和最近的点. ? x ? y ? 3z ? 5

(16)(本题满分 10 分) 计算曲线积分 ?L sin 2 xdx ? 2 ? x 2 ? 1? ydy , 其中 L 是曲线 y ? sin x 上从点 ? 0, 0 ? 到点 ?? ,0? 的一 段.

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(18)(本题满分 10 分) 设 f ? x ? 是连续函数, (1)利用定义证明函数 F ? x ? ? ?0 f ? t ? dt 可导,且 F ? ? x ? ? f ? x ? . (2)当 f ? x ? 是以 2 为周期的周期函数时,证明函数 G ? x ? ? 2?0 f (t )dt ? x ?0 f (t )dt 也是以 2 为 周期的周期函数.
x 2 x

(20)(本题满分 11 分)
A ? ααT ? ββT , αT 为 α 的转置, βT 为 β 的转置.证明:

(1) r ( A) ? 2 . (2)若 α , β 线性相关,则 r ( A) ? 2 .

(19)(本题满分 10 分)
f ? x? ? 1? x
2

? ?1? 的和. (0 ? x ? ? ) ,用余弦级数展开,并求 ? 2
? n ?1 n ?1

n

86

(21)(本题满分 11 分)
? 2a 1 ? ? 2 ? a 2a ? ? ? 设 矩 阵 A? , 现 矩 阵 A 满 足 方 程 AX ? B , 其 中 ? ? ? 1 ? ? ? a 2 2 a ? n? n ?
X ? ? x1 ,? , xn ?
T

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