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历年考研数学一真题及答案(1987-2015) - 修改


, B ? ?1,0,?,0? ,

(1)求证 A ? ? n ? 1? an . (2) a 为何值,方程组有唯一解,求 x1 . (3) a 为何值,方程组有无穷多解,求通解. (23)(本题满分 11 分) 设 X1, X 2 ,?, X n 是总体为 N (?,? 2 ) 的简单随机样本. 记X ?
1 1 n 1 n ( X i ? X )2 , T ? X 2 ? S 2 Xi , S2 ? ? ? n n ? 1 i ?1 n i ?1

(1)证明 T 是 ? 2 的无偏估计量. (2)当 ? ? 0, ? ? 1 时 ,求 DT .

(22)(本题满分 11 分) 设随机变量 X 与 Y 相互独立 , X 的概率分布为 P ? X ? i? ? ? i ? ?1, 0,1? , Y 的概率密度为
?1 0 ? y ? 1 ,记 Z ? X ? Y , fY ? y ? ? ? 0 其它 ?
1 3

(1)求 P ?Z ?
?

?

1 ? X ? 0? . 2 ?

(2)求 Z 的概率密度.

87

2009 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷

f ( x)
1

f ( x)
1 0

一、选择题(1-8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项
-2

1

2

3

x
(B)

-2 -1

0

1

2

3

x

符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)当 x ? 0 时, f ? x ? ? x ? sin ax 与 g ? x? ? x2 ln ?1? bx ? 等价无穷小,则 (A) a ? 1, b ? ?
1 6
1 6

(A)

-1

(B) a ? 1, b ?

1 6

(C) a ? ?1, b ? ?

(D) a ? ?1, b ?

1 6

f ( x)
1

f ( x)
1 0

(2)如图,正方形 ?? x, y ? x ? 1, y ? 1? 被其对角线划分为四 个区域 Dk ? k ? 1, 2,3, 4? , I k ? ?? y cos xdxdy ,则 max ?I k ? ? 1? k ? 4
Dk

-1

1

2

3

x
(D)

-2 -1

0

1

2

3

x

(C) (B) I 2 (D) I 4

(A) I1 (C) I 3

an ? 0 , 则 (4)设有两个数列 ?an ? ,?bn ? ,若 lim n ??

(A)当 ? bn 收敛时, ? an bn 收敛.
n ?1 n ?1

?

?

(B)当 ? bn 发散时, ? an bn 发散.
n ?1 n ?1

?

?

2 2 (C)当 ? bn 收敛时, ? an bn 收敛.
n ?1

?

?

n ?1

2 2 (D)当 ? bn 发散时, ? an bn 发散.
n ?1

?

?

n ?1

(5)设 α1 , α 2 , α3 是 3 维向量空间 R 3 的一组基,则由基 α1 , α 2 , α 3 到基 α1 ? α2 , α2 ? α3 , α3 ? α1 的 (3)设函数 y ? f ? x ? 在区间 ??1,3? 上的图形为 过渡矩阵为
?1 0 1? ? (A) ? ? 2 2 0? ? 0 3 3? ? ? ?1 2 0? ? (B) ? ?0 2 3? ?1 0 3? ? ?

1 2

1 3

f ( x)
O 0 -1

-2

1

2

3

x

则函数 F ? x ? ? ?0 f ? t ? dt 的图形为

x

? 1 ? 2 ? 1 (C) ? ? ? 2 ? 1 ? ? ? 2

1 4 1 4 1 ? 4

1? ? ? 6 ? 1 ? 6 ? ? 1 ? ? 6 ?

? 1 ? 2 ? 1 (D) ? ? 4 ? 1 ? ?? ? 6

?

1 2 1 4 1 6

1 ? 2 ? ? 1? ? 4? ? 1 ? ? 6 ?

88

(6) 设 A,

B

均为 2 阶矩阵 , A* , B* 分别为 A,

B

的伴随矩阵 , 若 A ? 2, B ? 3 , 则分块矩阵 三、解答题(15-23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文

?O A? ? ? 的伴随矩阵为 ? B O?

? O 3B * ? (A) ? * ? O ? ? 2A ? O 3 A* ? (C) ? * ? O ? ? 2B

? O (B) ? * ? 3A ? O (D) ? * ? 3B

2 B* ? ? O ? 2 A* ? ? O ?
x ?1 ? ? , 其中 ? ? x ? 为标准正态分布 ? 2 ?

字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分 9 分) 求二元函数 f ( x, y ) ? x 2 ? 2 ? y 2 ? ? y ln y 的极值.

(7) 设随机变量 X 的分布函数为 F ? x ? ? 0.3? ? x ? ? 0.7? ? ? 函数,则 EX (A)0 (C)0.7
?

(B)0.3 (D)1

(8) 设 随机 变量 X 与 Y 相 互 独立 , 且 X 服 从标 准 正态 分布 N ? 0,1? , Y 的 概 率分布为
1 P ?Y ? 0? ? P ?Y ? 1? ? ,记 FZ ? z ? 为随机变量 Z ? XY 的分布函数,则函数 FZ ? z ? 的间断点个数为 2

(A)0 (C)2

(B)1 (D)3

(16)(本题满分 9 分) 设 an 为曲线 y ? xn 与 y ? xn?1 ? n ? 1,2,.....? 所围成区域的面积,记 S1 ? ? an , S2 ? ? a2n?1 ,求 S1 与
n ?1 n ?1 ? ?

二、填空题(9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上.) (9)设函数 f ?u, v ? 具有二阶连续偏导数, z ? f ? x, xy ? ,则
? z ? ?x?y
2

S2 的值.

.

(10) 若二阶常系数线性齐次微分方程 y?? ? ay? ? by ? 0 的通解为 y ? ?C1 ? C2 x ? ex , 则非齐次 方程 y?? ? ay? ? by ? x 满足条件 y ? 0? ? 2, y? ? 0? ? 0 的解为 y ? (11)已知曲线 L : y ? x 2 ? 0 ? x ? 2 ? ,则 ?L xds ? (12)设 ? ? ?? x, y, z ? x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1? ,则 ??? z 2dxdydz ?
?

. . .

(13) 若 3 维列向量 α , β 满足 αT β ? 2 , 其中 αT 为 α 的转置 , 则矩阵 βαT 的非零特征值 为 . (14)设 X1 , X 2 ,?, X m 为来自二项分布总体 B ? n, p ? 的简单随机样本, X 和 S 2 分别为样本均 值和样本方差.若 X ? kS 2 为 np 2 的无偏估计量,则 k ? .
89

(17)(本题满分 11 分)
x2 y 2 x2 y 2 椭球面 S1 是椭圆 ? ? 1 绕 x 轴旋转而成,圆锥面 S2 是过点 ? 4, 0 ? 且与椭圆 ? ? 1 相 4 3 4 3

(18)(本题满分 11 分) (1)证明拉格朗日中值定理:若函数 f ? x ? 在 ? a, b? 上连续,在 (a, b) 可导,则存在 ? ?? a, b? , 使得 f ?b? ? f ? a ? ? f ? ?? ??b ? a ? . (2) 证明 :若函数 f ? x ? 在 x ? 0 处连续, 在 ? 0, ? ??? ? 0? 内可导 ,且 lim f ? ? x ? ? A , 则 f?? ? 0? 存 x ?0
?

切的直线绕 x 轴旋转而成. (1)求 S1 及 S2 的方程. (2)求 S1 与 S2 之间的立体体积.

在,且 f?? ? 0? ? A

(19)(本题满分 10 分) 计算曲面积分 I ? ? ??
? xdydz ? ydzdx ? zdxdy

?x

2

? y2 ? z

3 2 2

?

,其中 ? 是曲面 2x2 ? 2 y2 ? z 2 ? 4 的外侧.

12345678910111213141516171819202122232425

 


 

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