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历年考研数学一真题及答案(1987-2015) - 修改


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(20)(本题满分 11 分)
? ?1 ? ? 1 ?1 ?1 ? ? ? ? 设 A ? ? ? 1 1 1 ? , ξ1 ? ? ?1? ? ?2 ? ? 0 ?4 ?2 ? ? ? ? ?

(21)(本题满分 11 分)
2 2 设二次型 f ? x1, x2 , x3 ? ? ax12 ? ax2 ? ? a ?1? x3 ? 2x1x3 ? 2x2 x3 .

(1)求二次型 f 的矩阵的所有特征值;
2 (2)若二次型 f 的规范形为 y12 ? y2 ,求 a 的值.

(1)求满足 Aξ 2 ? ξ1 的 ξ2 . A2ξ3 ? ξ1 的所有向量 ξ2 , ξ3 . (2)对(1)中的任意向量 ξ2 , ξ3 证明 ξ1, ξ2 , ξ3 无关.

91

(22)(本题满分 11 分) 袋中有 1 个红色球,2 个黑色球与 3 个白球,现有回放地从袋中取两次,每次取一球, 以 X , Y , Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数. (1) 求 p ? X ? 1 Z ? 0? . (2)求二维随机变量 ? X , Y ? 概率分布

(23)(本题满分 11 分) 设总体 X 的概率密度为 f ( x) ? ? 自总体 X 的简单随机样本. (1)求参数 ? 的矩估计量. (2)求参数 ? 的最大似然估计量.
?? 2 xe?? x , x ? 0 ?0, 其他

, 其中参数 ? (? ? 0) 未知 , X1 , X 2 ,… X n 是来

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2010 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、选择题(1-8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
? ? x2 (1)极限 lim ? ? = x ?? ( x ? a )( x ? b) ? ?
x

?1 ? ? ? 1 ? (A) ? ? ? 1 ? ? 0? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? (C) ? ?1 ? ? ? 0? ?

?1 ? ? ? 1 ? (B) ? ? ?1 ? ? ? 0? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? (D) ? ?1 ? ? ? 0? ?
0 x?0 1 0 ? x ? 1, 则 P{X ? 1} = 2 1 ? e? x x ? 2

(A)1 (C) e a ?b

(B) e (D) e b ? a

(7)设随机变量 X 的分布函数 F ( x) ?

?z ?z y z (2)设函数 z ? z ( x, y) 由方程 F ( , ) ? 0 确定,其中 F 为可微函数,且 F2? ? 0, 则 x ? y = x x ?x ?y

(A)0 (C) ? e ?1
1 2

(B)1 (D) 1 ? e?1

(A) x (C) ?x (3)设 m, n 为正整数,则反常积分 ?0 (A)仅与 m 取值有关 (C)与 m, n 取值都有关
1m

(B) z (D) ?z
ln 2 (1 ? x)
n

(8)设 f1 ( x) 为标准正态分布的概率密度 , f2 ( x) 为 [?1,3] 上均匀分布的概率密度,
f ( x) ?

x

dx 的收敛性

x?0 (a ? 0, b ? 0) bf 2 ( x) x ? 0

af1 ( x)

为概率密度,则 a , b 应满足 (B)仅与 n 取值有关 (D)与 m, n 取值都无关 (A) 2a ? 3b ? 4 (C) a ? b ? 1 (B) 3a ? 2b ? 4 (D) a ? b ? 2

(4) lim ?? x ??
i ?1

n

n = 2 2 j ?1 ( n ? i )(n ? j )

n

二、填空题(9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上.) (B) ?0 dx ?0 (D) ? dx ?
0 1 1 x

(A) ?0 dx ?0 (C) ?0

1

x

1 dy (1 ? x)(1 ? y 2 ) 1 dy 0 (1 ? x)(1 ? y )
1

1 dy (1 ? x)(1 ? y )

(9)设 x ? e?t , y ? ?0 ln(1 ? u 2 )du, 求 (10) ?0
?2

t

d2y = dx 2 t ?0

.

1

dx ?

1 dy 0 (1 ? x)(1 ? y 2 )
1

x cos xdy =

.

(11)已知曲线 L 的方程为 y ? 1 ? x {x ?[?1,1]}, 起点是 (?1, 0), 终点是 (1, 0), 则曲线积分 ?L xydx ? x 2 dy = . .

(5)设 A 为 m? n 型矩阵 , B 为 n ? m 型矩阵,若 AB ? E, 则 (A)秩 ( A) ? m, 秩 (B) ? m (C)秩 (A) ? n, 秩 (B) ? m (B)秩 ( A) ? m, 秩 (B) ? n (D)秩 (A) ? n, 秩 (B) ? n

(12)设 ? ? {( x, y, z) | x2 ? y 2 ? z ? 1}, 则 ? 的形心的竖坐标 z =

(13)设 α1 ? (1, 2, ?1,0)T , α2 ? (1,1,0, 2)T , α3 ? (2,1,1, ? )T , 若由 α1 , α 2 , α3 形成的向量空间的维数是 2, 则? = .
93

(6)设 A 为 4 阶对称矩阵,且 A2 ? A ? 0, 若 A 的秩为 3,则 A 相似于

(14)设随机变量 X 概率分布为 P{ X ? k} ?

C (k ? 0,1, 2,?), 则 EX 2 = k!

.

(17)(本题满分 10 分) (1)比较 ?0 ln t [ln(1 ? t )]n dt 与 ?0 t n ln t dt (n ? 1, 2,?) 的大小,说明理由
1 1

三、解答题(15-23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分 10 分) 求微分方程 y?? ? 3 y? ? 2 y ? 2x ex 的通解.

(2)

un . 记 un ? ?0 ln t [ln(1 ? t )]n dt (n ? 1, 2,?), 求极限 lim x ??

1

(18)(本题满分 10 分) (16)(本题满分 10 分) 求函数 f ( x) ? ?1 ( x 2 ? t ) e?t dt 的单调区间与极值.
2

求幂级数 ?

x

(?1)n ?1 2 n x 的收敛域及和函数. n ?1 2n ? 1
?

94

(19)(本题满分 10 分) 设 P 为椭球面 S : x2 ? y 2 ? z 2 ? yz ? 1上的动点,若 S 在点 P 的切平面与 xoy 面垂直,求 P 点的 轨迹 C , 并计算曲面积分 I ? ??
?

(20)(本题满分 11 分)
1 1? ?? ?a? ? ? ? 设 A ? ? 0 ? ?1 0 ? , b ? ? ? 1 ? , 已知线性方程组 Ax ? b 存在两个不同的解. ?1 ?1? 1 ?? ? ? ? ?

( x ? 3) y ? 2 z 4 ? y 2 ? z 2 ? 4 yz

dS , 其中 ? 是椭球面 S 位于曲线 C 上方的部分.

(1)求 ? , a. (2)求方程组 Ax ? b 的通解.

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(21)(本题满分 11 分)
2 设二次型 f ( x1, x2 , x3 ) ? xT Ax 在正交变换 x ? Qy 下的标准形为 y12 ? y2 , 且 Q 的第三列为

(

2 2 T , 0, ) . 2 2

(1)求 A. (2)证明 A ? E 为正定矩阵,其中 E 为 3 阶单位矩阵.

(23)(本题满分 11 分) 设总体 X 的概率分布为
X
P

1
1??

2
? ?? 2

3
?2

其中 ? ? (0,1) 未知,以 Ni 来表示来自总体 X 的简单随机样本(样本容量为 n )中等于 i 的个数
(i ? 1, 2,3), 试求常数 a1 , a2 , a3 , 使 T ? ? ai Ni 为 ? 的无偏估计量,并求 T 的方差.
i ?1 3

(22)(本题满分 11 分) 设二维随机变量 ( X ? Y ) 的概率密度为 f ( x, y) ? Ae?2 x ?2 xy? y , ?? ? x ? ?, ?? ? y ? ?, 求常数及
A 条件概率密度 fY | X ( y | x).
2 2

12345678910111213141516171819202122232425

 


 

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