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历年考研数学一真题及答案(1987-2015) - 修改


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2011 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、选择题(1-8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) 1、 A 曲线 y ? x( x ? 1)(x ? 2) ( x ? 3) ( x ? 4) 的拐点是(
2 3 4

C

?1 ? 2 ? 3

D

? 2 ?3 ? 4

7、设 F1 ( x) F2 ( x) 为两个分布函数,且连续函数 f1 ( x) f 2 ( x) 为相应的概率密度,则必为 概率密度的是( A C ) D (4,0)
?

) B
2 f 2 ( x) F1 ( x)

f1 ( x) f 2 ( x) f1 ( x) F2 ( x)

D f1 ( x)F2 ( x) + f 2 ( x) F1 ( x)

(1,0)

B (2,0)

C (3 ,0)
n

8、设随机变量 X , Y 相互独立,且 EX , EY 都存在,记 U ? max?X , Y ? V ? min?X , Y ?,则 EUV ? ) ( A )
EU ? EV

an ? 0 。 2、 设数列 ?an ?单调减少, 且 lim 则幂级数 ? an ( x ? 1) n 的收敛域为 ( S n ? ? ai 无界, n??
i ?1 n ?1

A (? 1 1]

B

[?1 1)

C

[0 2)

D

(0 2]

B D

EX ? EY

C EU ? EY 3、 设函数 f ( x) 具有二阶连续的导数,且 f ( x) ? 0 . f ?(0) ? 0 。则函数 z ? ln f ( x) f ( y) 在点 )
f (0) ? 1 f (0) ? 1
?

EX ? EV

二、填空题:9—14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定的位置上。 9、曲线 y ? ?0 tan tdt (0 ? x ? ) 的弧长为_____________
4
x

?

(0,0) 处取得极小值的一个充分条件是(

A C

f (0) ? 1 f (0) ? 1
?

f ??(0) ? 0 f ??(0) ? 0

B D
J ? ? 4 ln cot xdx
0

f ??(0) ? 0 f ??(0) ? 0 J K 的大小关系是(

10、微分方程 y? ? y ? e x cos x 满足条件 y(0) ? 0 的解为________________ 11、设函数 F ( x, y ) ? ?0 )
xy

4、设 I ? ?04 ln sin xdx A
I?J?K

?

sin t ?2F dt ,则 | x?0 ? __________ ____ 1? t2 ?x 2 y ?2

K ? ? 4 ln cos xdx ,则 I
0

12、设 L 是柱面方程 x 2 ? y 2 ? 1 与平面 z ? x ? y 的交线,从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆 时针方向,则曲线积分 ?L
y2 xzdx ? xdy ? dz ? _________ 2

B

I?K?J

C

J?I?K

D

K?J?I

5、设 A 为 3 阶矩阵,把 A 的第二列加到第一列得到矩阵 B ,再交换 B 的第二行与第
?1 0 0? ?1 0 0? ? ? ? ? 3 行得到单位阵 E,记 P1 ? ? 1 1 0 ? , P2 ? ? 0 0 1 ? ,则 A=( ?0 0 1? ?0 1 0? ? ? ? ?

13、若二次曲面的方程 x 2 ? 3 y 2 ? z 2 ? 2axy ? 2xz ? 2 yz ? 4 ,经正交变换化为 y12 ? y2 2 ? 4 , ) 则 a ? _______ 14、设二维随机变量 ( X , Y ) ~ N (?, ?,? 2 ,? 2 ,0) ,则 E( XY 2 ) ? __________ __

A C

P 1P 2 P2 P 1

B

P 1 P 2

?1

D

P2 P 1

?1

6、设 A ? (?1 ? 2 ? 3 ? 4 ) 是 4 阶矩阵, A* 为 A 的伴随矩阵。若 (1,0,1,0)T 是 Ax ? 0 的一个基础 解系,则 A* x ? 0 的基础解系可为( A
?1 ? 3

三、解答题:15—23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上,解答应写出 文字说明,证明过程或演算步骤。

B

?1 ? 2
97

15、 (本题满分 10 分)
ln(1 ? x) e x ?1 求极限 lim( ) x ?0 x
1

17、 (本题满分 10 分) 求方程 k arctan x ? x ? 0 的不同实根的个数,其中 k 为参数。

16、 (本题满分 9 分) 18、 (本题满分 10 分) 设函数 z ? f ( xy, yg( x)) ,其中 f 具有二阶连续的偏导数,函数 g ( x) 可导且在 x ? 1 处取得极值
g (1) ? 1 .求

①证明:对任意的正整数 n ,都有
1 2 1 n

?2z | x ?1 ?x?y y ?1

1 1 1 ? ln(1 ? ) ? 成立; n ?1 n n

.. ? ? ln n (n ? 1,2......),证明数列 ?an ? 收敛. ②设 a n ? 1 ? ? ..........

98

20、 (本题满分 11 分) 19、 (本题满分 11 分) 已 知 函 数 f ( x, y ) 具 有 二 阶 连 续 的 偏 导 数 , 且 f (1, y) ? f ( x,1) ? 0, ?? f ( x, y)dxdy ? a , 其 中
D

设 向 量 组 ?1 ? (1,0,1)T , ? 2 ? (0,1,1)T , ? 3 ? (1,3,5)T 不 能 由 向 量 组 ?1 ? (1,1,1)T , ? 2 ? (1,2,3)T ,
? 3 ? (3,4, a)T 线性表示;

?? ( x, y)dxdy D ? ?( x, y) | 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1? 计算二重积分 ?? xyf xy
D

(1) 求 a 的值; (2) 将 ?1 , ? 2 , ? 3 用 ?1 ,? 2 ,? 3 线性表示;

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21、 (本题满分 11 分)
? 1 1? ??1 1? ? ? ? ? A 为 3 阶实对称矩阵,A 的秩为 2,且 A? 0 0 ? ? ? 0 0 ? ? -1 1? ? 1 1? ? ? ? ?

求(1)二维随机变量(X,Y)的概率分布; (2) Z ? XY 的概率分布 (3)X 与 Y 的相关系数 ? XY

求(1)A 的特征值与特征向量 (2) 矩阵 A

23、 (本题满分 11 分) 设 X 1 , X 2 ? X n 是来自正态总体 N (?0 ,? 2 ) 的简单随机样本,其中 ? 0 已知,? 2 ? 0 未知. X , S 2 为 样本均值和样本方差. 求(1)求参数 ? 2 的最大似然估计 ? 2 (2) 计算 E ? 2 和 D ? 2
? ? ?

22、 (本题满分 11 分) 设随机变量 X 与 Y 的概率分布分别为 X
P

0
13

1
23

Y
P

-1
13

0
13

1
13

且 P?X 2 ? Y 2 ? ? 1
100

(C) ?1 , ?3 , ? 4 2012 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
x2 ? x (1)曲线 y ? 2 渐近线的条数为() x ?1

(D) ?2 ,?3 ,?4
?1

?1 ? ? ( 6 ) 设 A 为 3 阶 矩 阵 , P 为 3 阶 可 逆 矩 阵 , 且 P AP ? ? 1 ? ? , P ? ??1,?2 ,?3 ? , ? 2? ? ?

Q ? ??1 ? ?2 ,?2 ,?3 ? 则 Q?1 AQ ? (
?1 ? ? (A) ? 2 ? ? ? ? 1 ? ? ?2 ? ? (C) ? 1 ? ? ? ? 2 ? ?

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