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历年考研数学一真题及答案(1987-2015) - 修改


?1 ? ? (B) ? 1 ? ? ? ? 2 ? ? ?2 ? ? (D) ? 2 ? ? ? ? 1 ? ?

(A)0

(B)1

(C)2

(D)3

(2)设函数 f ( x) ? (ex ?1)(e2 x ? 2)?(enx ? n) ,其中 n 为正整数,则 f ' (0) ? (A) (?1)n?1 (n ?1)! (B) (?1)n (n ?1)! (C) (?1)n?1 n! ) (D) (?1)n n !

(7) 设随机变量 x 与 y 相互独立, 且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布, 则 p?x ? y? ? ()
( A) 1 5 ( B) 1 3 (C ) 2 5 ( D) 4 5

(3)如果 f ( x, y ) 在 ? 0, 0 ? 处连续,那么下列命题正确的是( (A)若极限 lim
x ?0 y ?0

f ( x, y) 存在,则 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处可微 x? y

(8)将长度为 1m 的木棒随机地截成两段,则两段长度的相关系数为()
( A) 1 ( B) 1 2 (C ) ? 1 2 ( D) ? 1

f ( x, y) (B)若极限 lim 2 2 存在,则 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处可微 x ?0 x ? y y ?0

(C)若 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处可微,则极限 lim
x ?0 y ?0

f ( x, y) 存在 x? y f ( x, y) 存在 x2 ? y 2

二、填空题:9?14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸 指定位置上. ... (9)若函数 f ( x) 满足方程 f '' ( x) ? f ' ( x) ? 2 f ( x) ? 0 及 f ' ( x) ? f ( x) ? 2e x ,则 f ( x) =________。 (10) ?0 x 2 x ? x 2 dx ________。 (11) grad ? xy ? ? y
? ? z? ? (2,1,1)
2

(D)若 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处可微,则极限 lim
x ?0 y ?0

(4)设 I k ? ? e x sinxdx(k=1,2,3),则有 D
2

k

e

________。

(A)I1< I2 <I3. (C) I1< I3 <I1,

(B) I2< I2< I3. (D) I1< I2< I3.

(12)设 ? ? ??x, y, z ? x ? y ? z ? 1, x ? 0, y ? 0, z ? 0?, 则 ?? y 2 ds ? ________。
?

?0? ?0? ?1? ? ?1? ? ? ? ? ? ? ? (5)设 ?1 ? ? 0 ? , ? 2 ? ? 1 ? , ? 3 ? ? ?1? , ? 4 ? ? ? 1 ? 其中 c1 , c2 , c3 , c4 为任意常数,则下列向量组线性相 ?c ? ?c ? ?c ? ?c ? ? 1? ? 2? ? 3? ? 4?

(13)设 X 为三维单位向量,E 为三阶单位矩阵,则矩阵 E ? xxT 的秩为________。 (14)设 A, B, C 是随机事件, A, C 互不相容, P( AB) ? , P(C ) ? ,则 P ( AB C ) ? ________。 三、解答题:15—23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸 指定位置上.解答应写出文字说 ...
1 2 1 3
?

关的是( (A) ?1 , ? 2 , ?3

) (B) ?1,?2 ,?4

明、证明过程或演算步骤.
101

(15) (本题满分 10 分)
1? x x2 ? cos x ? 1 ? , ?1 ? x ? 1 证明: x ln 1? x 2

(18) (本题满分 10 分) 已知曲线
?? ,其中函数 f (t ) 具有连续导数,且 f (0) ? 0 , f (t ) ? 0? ? 0 ? t ? ? 。若曲线 L 的切线与 x 轴的交
? 2?

点到切点的距离恒为 1,求函数 f (t ) 的表达式,并求此曲线 L 与 x 轴与 y 轴无边界的区域 的面积。

(16) (本题满分 10 分) 求 f ? x, y ? ? xe ?
x2 ? y 2 的极值。 2

(19) (本题满分 10 分) 已知 L 是第一象限中从点 ? 0, 0 ? 沿圆周 x2 ? y 2 ? 2x 到点 ? 2, 0 ? ,再沿圆周 x2 ? y2 ? 4 到点 ? 0, 2 ? 的 曲线段,计算曲线积分 J =? 3x2 ydx ? ? x2 ? x ? 2 y ? dy 。
L

(17) (本题满分 10 分) 求幂级数 ?
n?0 ?

4n 2 ? 4n ? 3 2n x 的收敛域及和函数 2n ? 1

102

(20) (本题满分 10 分)
?1 ? 0 设A?? ?0 ? ?a a 1 0 0 0 a 1 0 0? ?1? ? ? ? 0? ?1 ,b ? ? ? ?0? a? ? ? ? 1? ?0?

? 1 0 1? ? T T (21) (本题满分 10 分)三阶矩阵 A ? ? ? 0 1 1 ? , A 为矩阵 A 的转置,已知 r ( A A) ? 2 , ? ?1 0 a ? ? ?

且二次型 f ? xT AT Ax 。 1)求 a 2)求二次型对应的二次型矩阵,并将二次型化为标准型,写出正交变换过程。

(Ⅰ)求 A (Ⅱ)已知线性方程组 Ax ? b 有无穷多解,求 a ,并求 Ax ? b 的通解。

103

(22) (本题满分 10 分) 已知随机变量 X , Y 以及 XY 的分布律如下表所示, X P 0 1/2 1 1/3 2 1/6 Y P 0 1/3 1 1/3 2 1/3 P 2 求:(1) P ? X ? 2Y ? ; (2) cov ? X ? Y , Y ? 与 ? XY . XY 0 7/1 1/3 0 2 1 2 4 1/1

(23) (本题满分 11 分) 设随机变量 X 与 Y 相互独立且分别服从正态分布 N ? ? , ? 2 ? 与 N ? ? , 2? 2 ? ,其中 ? 是未知参数 且 ? ? 0 ,设 Z ? X ? Y , (1) (2) (3) 求 z 的概率密度 f ? z , ? 2 ? ; 设 z1 , z2 ,? zn 为来自总体 Z 的简单随机样本,求 ? 2 的最大似然估计量 ? ; 证明 ? 为 ? 2 的无偏估计量。
2 2

104

2013 硕士研究生入学考试 数学一
x ? arctan x ? c ,其中 k,c 为常数,且 c ? 0 ,则( xk 1 1 1 1 A. k ? 2, c ? ? B. k ? 2, c ? C. k ? 3, c ? ? D. k ? 3, c ? 2 2 3 3

C. P3 ? P2 ? P2

DP 1 ?P 3 ?P 2

8.设随机变量 X ? t (n) , Y ? F (1, n) ,给定 a(0 ? a ? 0.5) ,常数 c 满足 P? X ? c? ? a ,则 )
P ?Y ? c 2 ? ? (

1.已知极限 lim x ?0

)
1 n

n[ f ( ) ? 1] = 9.设函数 y=f(x)由方程 y-x=ex(1-y) 确定,则 lim n ?0

2.曲面 x2 ? cos( xy) ? yz ? x ? 0 在点 (0,1, ?1) 处的切平面方程为( A. x ? y ? z ? ?2 B. x ? y ? z ? 0 C. x ? 2 y ? z ? ?3

10.已知 y1=e3x –xe2x,y2=ex –xe2x,y3= –xe2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解,则该方程的通解 y= ) 11.设 ? 12. ?1
??

D. x ? y ? z ? 0

。 。

? 1 9 1 3.设 f ( x) ? x ? , bn ? 2?0 f ( x)sin n? xdx(n ? 1, 2,?) ,令 S ( x) ? ? bn sin n? x ,则 S ( ? ) ? ( n ?1 4 2

? x ? sin t d2y (t为参数),则 2 ? dx t ? ? ? y ? t sin t ? cos t
4

A .

3 4

B.

1 4

C. ?

1 4

D. ?

3 4

ln x dx ? (1 ? x) 2

4.设 L1 : x2 ? y 2 ? 1 , L2 : x2 ? y2 ? 2 , L3 : x2 ? 2 y 2 ? 2 , L4 : 2x2 ? y 2 ? 2 为四条逆时针方向的平面曲
y3 x3 ( y ? ) dx ? (2 x ? )dy (i ? 1, 2,3, 4) ,则 max ?I1, I 2 , I3 , I 4 ? ? 线,记 I i ? ? ? 6 3 Li

12345678910111213141516171819202122232425

 


 

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