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历年考研数学一真题及答案(1987-2015) - 修改


13.设 A=(aij)是 3 阶非零矩阵, A 为 A 的行列式,Aij 为 aij 的代数余子式.若 aij+Aij=0(i, j=1,2,3) ,则|A|= 。

A. I1

B. I 2

C. I 3

D I4 )

14.设随机变量 Y 服从参数为 1 的指数分布,a 为常数且大于零,则 P{Y≤a+1|Y>a}=

5.设 A,B,C 均为 n 阶矩阵,若 AB=C,且 B 可逆,则( A.矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 B 矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 C 矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价 D 矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价
? 1 a 1? ?2 0 0? ? ? ? 6.矩阵 ? ? a b a ? 与 ? 0 b 0 ? 相似的充分必要条件为( ? 1 a 1? ?0 0 0? ? ? ? ?

三.解答题: (15) (本题满分 10 分) 计算 ?0
1

f ( x) x

dx ,其中 f(x)= ?

x

1

ln(t ? 1) dt . t

A. a ? 0, b ? 2 C. a ? 2, b ? 0

B. a ? 0, b 为任意常数 D. a ? 2, b 为任意常数

7. 设 X1 , X 2 , X 3 是 随 机 变 量 , 且 X1 ? N (0,1) , X 2 ? N (0, 22 ) , X 3 ? N (5,32 ) ,
P i ? P??2 ? X i ? 2? (i ? 1,2,3) ,则(

A. P 1 ?P 2 ?P 3

B. P2 ? P 1 ?P 3
105

(16)(本题 10 分) 设数列{an}满足条件: a0 ? 3, a1=, 1 an?2 ? n(n ?1)an=0(n ? 2). S(x)是幂级数, ? an x n的和函数.
n ?0 ?

(18)(本题满分 10 分) 设奇函数 f(x)在 ??1,1? 上具有二阶导数,且 f(1)=1,证明: (I)存在 ? ? (0,1 ),使得f ?(? ) ? 1.
? ?) (Ⅱ)存在? ? (?1,1 ),使得f ??(? ) ? f( ? 1.

(1)证明: S ??( x) ? S ( x) ? 0; (2)求 S ( x)的表达式.

19.(本题满分 10 分) 设直线 L 过 A (1,0,0) , B (0,1,1) 两点将 L 绕 z 轴旋转一周得到曲面 ? , ? 与平面 z ? 0, z ? 2 (17) (本题满分 10 分) 所围成的立体为 ? 。 求函数 f ( x, y) ? ( y ?
x x? y )e 的极值. 3
3

(1) 求曲面 ? 的方程; (2) 求 ? 的形心坐标。

106

20.(本题满分 11 分) 设 A??
?1 a ? ?0 1? ?, B ? ? ? ,当 a,b 为何值时,存在矩阵 C 使得 AC-CA=B,并求所有矩阵 C。 ?1 0 ? ?1 b?

21.(本题满分 11 分)
? a1 ? ? b1 ? ? ? ? 设二次型 f ( x1, x2 , x3 ) ? 2(a1x1 ? a2 x2 ? a3 x3 ) ? (b1x1 ? b2 x2 ? b3 x3 ) ,记 ? ? ? a2 ? , ? ? ? ? b2 ? 。 ?a ? ?b ? ? 3? ? 3?
2 2

(1) 证明二次型 f 对应的矩阵为 2?? T ? ?? T ;
2 (2) 若 ? , ? 正交且均为单位向量,证明 f 在正交变换下的标准形为 2 y12 ? y2 。

107

22.(本题满分 11 分)
x ? 1, ? 2, ?1 2 ? ? x , 0 ? x ? 3, 设随机变量 X 的概率密度为 f ( x) ? ? a 令随机变量 Y ? ? x, 1 ? x ? 2, ?1, ? 其他 x?2 ? 0, ?

23.(本题满分 11 分)
?? 2 ?? e x , x ? 0, 3 设总体 X 的概率密度为 f ( x;? ) ? ? 其中 ? 为未知参数且大于零,X1, X 2, ?, X n 为来 ?x ? 0, 其他 ?

(1) 求 Y 的分布函数; (2) 求概率 P? X ? Y ? .

自总体 X 的简单随机样本。 (1) 求 ? 的矩估计量; (2) 求 ? 的最大似然估计量。

108

2014 年全国硕士研究生入学统一考试
? 2 ? l? 3 线性无关是向量 ?1 ,? 2 ,? 3 6. 设 ?1 ,? 2 ,?3 是三维向量, 则对任意的常数 k , l , 向量 ?1 ? k? 3 ,

一、选择题 1—8 小题.每小题 4 分,共 32 分. 1.下列曲线有渐近线的是( (A) y ? x ? sinx
2

线性无关的(

) (B)充分而非必要条件 (C)充分必要条件 (D)非充

) (C)
y ? x ? sin 1 x

(A)必要而非充分条件 (D)
y ? x 2 ? sin 1 x

(B) y ? x ? sinx

分非必要条件

2.设函数 f ( x ) 具有二阶导数, g( x ) ? f (0)(1 ? x ) ? f (1) x ,则在 [0,1] 上( (A)当 f ' ( x ) ? 0 时, f ( x) ? g( x) (C)当 f ??( x ) ? 0 时, f ( x) ? g( x) (B)当 f ' ( x ) ? 0 时, f ( x) ? g( x) (D)当 f ??( x ) ? 0 时, f ( x ) ? g( x)

7.设事件 A,B 想到独立, P( B) ? 0.5, P( A ? B) ? 0.3 则 P ( B ? A) ? ( (A)0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.4

8.设连续型随机变量 X 1 , X 2 相互独立,且方差均存在, X 1 , X 2 的概率密度分别为 f1 ( x), f 2 ( x) , 3.设 f ( x ) 是连续函数,则 ? 0 (A) ?0
1
1

dy?
1? x 2

1? y ? 1? y 2

f ( x, y)dy ?

1 f Y ( y ) ? ( f1 ( y ) ? f 2 ( y )) Y2 ? ( X 1 ? X 2 ) Y 2 2 1 随机变量 的概率密度为 ,随机变量 ,则(
1

1

dx?

x ?1

0

f ( x, y)dy ? ? dx?
?1

0

(A) EY1 ? EY2 , DY1 ? DY2
f ( x, y)dy

(B) EY1 ? EY2 , DY1 ? DY2 (D) EY1 ? EY2 , DY1 ? DY2

0

(C) EY1 ? EY2 , DY1 ? DY2

(B) ?0 (C ) (D )

1

dx?
d? ?

1? x1

0

f ( x, y)dy ? ? dx?
?1

0

0

? 1? x 2

f ( x, y)dy
1 cos? ? sin ? 0

二、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分. 把答案填在题中横线上) 9.曲面 z ? x
2

?
?

?

2 0

1 cos? ? sin ? 0

f (r cos? , r sin? )dr ? ? d? ?
2

? ?

f (r cos? , r sin? )dr

(1 ? sin y) ? y 2 (1 ? sinx) 在点 (1,0,1) 处的切平面方程为

10.设 f ( x ) 为周期为 4 的可导奇函数,且 f '( x) ? 2( x ? 1), x ? ?0,2? ,则 f (7) ?

?

2 0

d? ? cos? ?sin ? f (r cos? , r sin? )rdr ? ?? d? ? cos? ?sin ? f (r cos? , r sin? )rdr
0 2 0

1

?

1

11.微分方程 xy'? y(lnx ? ln y) ? 0 满足 y(1) ? e 的解为
3

4.若函数 ??? (A) 2 sin x

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