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历年考研数学一真题及答案(1987-2015) - 修改


?

( x ? a1 cos x ? b1 sinx) 2 dx ? min ? ( x ? a cos x ? b sinx) 2 dx
a ,b?R ??

?

?

?,则 a cos x ? b sinx ? (
1 1

12.设 L 是柱面 x 曲线积分 ?L

2

? y 2 ? 1 和平面 y ? z ? 0 的交线,从 z 轴正方向往负方向看是逆时针方向,则

(B) 2 cos x

(C) 2? sin x

(D) 2? cos x

zdx ? ydz ?

0 a b a 0 0 0 c d

0 b 0

13.设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) ? x1 ? x2 ? 2ax1 x3 ? 4 x2 x3 的负惯性指数是 1,则 a 的取值范围是
2 2

5.行列式 c (A) (ad ? bc)

0
2

0 d

等于(


2

(B) ? (ad ? bc)

(C) a

2

d 2 ? b2c 2

(D) ? a

2

d 2 ? b 2c 2
109

14.设总体 X 的概率密度为 总体的简单样本,若
C? X
i ?1 n 2 i

? 2x ,? ? x ? 2? ? f ( x ,? ) ? ? 3? 2 ? ? 0, 其 它

17. (本题满分 10 分) ,其中 ? 是未知参数, X1 , X 2 ,?, X n 是来自 设函数
?2z ?2z ? ? (4z ? e x cos y )e 2 x f ( u) 具有二阶连续导数, z ? f (e cos y) 满足 ?x 2 ?y 2 .
x

是 ? 的无偏估计,则常数 C =
2

若 f (0) ? 0, f '(0) ? 0 ,求 f ( u) 的表达式.

三、解答题 15. (本题满分 10 分)
lim

?

x 1

1

( t 2 (e t ? 1) ? t )dt x 2 ln( 1? 1 ) x

x ? ??

求极限

18. (本题满分 10 分)

?? 2 2 设曲面 ? : z ? x ? y ( z ? 1) 的上侧,计算曲面积分: ?
16. (本题满分 10 分) 设函数 y ? f ( x ) 由方程 y ? xy ? x y ? 6 ? 0 确定,求 f ( x ) 的极值.
3 2 2

( x ? 1) 3 dydz ? ( y ? 1) 3 dzdx ? ( z ? 1)dxdy

证明 n??

lim a n ? 0


n

证明级数 n?1

?b

?

an

收敛.

110

19. (本题满分 10 分) 设数列 ?an ?, ?bn ?满足
0 ? an ?

20. (本题满分 11 分)
?
2 ,0 ? bn ?

?

2 , cosan ? an ? cosbn 且级数 n ?1

?b

?

n

收敛.

? 1 ? 2 3 ? 4? ? ? A ? ? 0 1 ?1 1 ? ? ? 设 ? 1 2 0 3 ? ,E

为三阶单位矩阵.

求方程组 AX ? 0 的一个基础解系; 求满足 AB ? E 的所有矩阵.

111

21. (本题满分 11 分)
?1 ? ?1 ?? ? ? n 证明 阶矩阵 ? 1 1 ? 1? ?0 ? 0 1? ? ? ? 1 ? 1? ?0 ? 0 2? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? 1 ? 1? ? 与 ? 0 ? 0 n ? 相似.

23. (本题满分 11 分)
x ? ?1 ? e ? ? , x ? 0 F ( x ,? ) ? ? ? x?0 ? 0, 的分布函数为 ,其中 ?
2

设总体 X

为未知的大于零的参数, X1 , X 2 ,?, X n 是

来自总体的简单随机样本, (1)求 E( X ), E( X ) ; (2)求 ? 的极大似然估计量.
2

?^ ? limP ? ? n ? a ? ? ? ? 0 n? ? ? ? (3)是否存在常数 a ,使得对任意的 ? ? 0 ,都有 .

22. (本题满分 11 分) 设随机变量 X 的分布为 分布 U (0, i ), i ? 1,2 . 求 Y 的分布函数; 求期望 E (Y ).
P ( X ? 1) ? P ( X ? 2) ? 1 2 ,在给定 X ? i 的条件下,随机变量 Y

服从均匀

112

2015 年考研数学一真题
一、选择题:1 ? 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项 符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1)设函数 f ( x) 在 ? ??, ??? 内连续,其中二阶导数 f ??( x) 的图形如图所示,则曲线 y ? 拐点的个数为 (A)
0

(A)
?
3

??
4

?
3

4

d? ? sin12? f ? r cos? , r sin ? ?rdr
2sin 2?

1

(B) (C) (D)

?? d? ?
??
?
3 4

1 sin 2? 1 2sin 2?
1

f ? r cos ? , r sin ? ?rdr

d? ? sin12? f ? r cos? , r sin ? ?dr
2sin 2?

f ( x) 的

( (B)
1

)

?? d? ?
3 4

?

1 sin 2? 1 2sin 2?

f ? r cos ? , r sin ? ?dr

(C)

2

(D)

3

?1 ? ?1 1 1 ? ? ? ? ? b ? ?d ? A ? ?1 2 a ? ?1 4 a 2 ? ?d2 ? ? ?, ? ? ,若集合 ? ? ?1,2? ,则线性方程组 Ax ? b 有无穷多解的 (5) 设矩阵
1 1 y ? e 2 x ? ( x ? )e x x 2 3 是二阶常系数非齐次线性微分方程 y?? ? ay? ? by ? ce 的一个特解,则 (2)设

充分必要条件为 (A) a ? ?, d ? ? (B) a ? ?, d ? ? (C) a ? ?, d ? ? (D) a ? ?, d ? ? (6) 设 二 次 型 f ? x1, x2 , x3 ? 在 正 交 变 换 为 x ? Py
P ? ? e1 , e2 , e3 ?

(

)

(

)

(A) a ? ?3, b ? 2, c ? ?1 (B) a ? 3, b ? 2, c ? ?1 (C) a ? ?3, b ? 2, c ? 1 (D) a ? 3, b ? 2, c ? 1 (3) 若级数 n ?1

2 2 2 下 的 标 准 形 为 2 y1 ? y2 ? y3

,其中

, 若 Q ? ? e1, ?e3 , e2 ?

, 则 f ? x1, x2 , x3 ? 在 正 交 变 换 x ? Qy 下 的 标 准 形 为

?a

?

n

条件收敛,则 x ? 3 与 x ? 3 依次为幂级数 n?1

? na ( x ? 1)
n

?

n

( 的 ( )

)

(A) 收敛点,收敛点 (B) 收敛点,发散点 (C) 发散点,收敛点 (D) 发散点,发散点 (4) 设 D 是第一象限由曲线 2 xy ? 1 , 4 xy ? 1 与直线 y ? x , y ? 3x 围成的平面区域,函数 在 D 上连续,则

2 2 2 (A) 2 y1 ? y2 ? y3 2 2 2 (B) 2 y1 ? y2 ? y3 2 2 2 (C) 2 y1 ? y2 ? y3 2 2 2 (D) 2 y1 ? y2 ? y3

(7) 若 A,B 为任意两个随机事件,则 (A) P ? AB ? ? P ? A? P ? B ? (C)
P ? AB ? ? P ? A? P ? B ? 2

( (B) P ? AB ? ? P ? A? P ? B ? (D)
P ? AB ? ? P ? A? P ? B ? 2

)

f ? x, y ?

?? f ? x, y ? dxdy ?
D

12345678910111213141516171819202122232425

 


 

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