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历年考研数学一真题及答案(1987-2015) - 修改


(

)

113

E ? X ? X ? Y ? 2 ?? ?? ( (8)设随机变量 X , Y 不相关,且 EX ? 2, EY ? 1, DX ? 3 ,则 ?

)

(16)(本题满分 10 分) 设函数 f ? x ? 在定义域 I 上的导数大于零,若对任意的 x0 ? I ,由线
y=f ? x ?
f ? x?

(A) ?3

(B) 3

(C) ?5

(D) 5

在点 ?

x0 , f ? x0 ??

处的切线与直线 x ? x0 及 x 轴所围成区域的面积恒为 4,且 f ?0? ? 2 ,求

二、填空题:9 ? 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.
ln cos x ? _________ . 2 (9) x?0 x lim

的表达式.

(10)

? ? (1 ? cos x ? x )dx ? ________ .
2 ? 2
(0,1)

?

sin x

x dz (11)若函数 z ? z ( x, y) 由方程 e ? xyz ? x ? cos x ? 2 确定,则

? ________ .

(12) 设 ? 是 由 平 面 x ? y ? z ? 1 与 三 个 坐 标 平 面 平 面 所 围 成 的 空 间 区 域 , 则

??? ( x ? 2 y ? 3z)dxdydz ? __________.
?

2

0 ?

0 0 ?

2 2 ? ? ___________ .

?1 2 ? ? ? ?

(17)(本题满分 10 分)
2 2 已知函数 f ? x, y ? ? x ? y ? xy ,曲线 C: x ? y ? xy ? 3 ,求 f ? x, y ? 在曲线 C 上的最

(13) n 阶行列式

0 0

0 ? 2 2 0 ? ?1 2

(14)设二维随机变量 ( x, y ) 服从正态分布 N (1,0;1,1,0),则 P{XY ? Y ? 0} ? ________ . 三、解答题:15~23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分) 设函数 f ? x ? ? x ? a ln(1? x) ? bx sin x , g ( x) ? kx ,
3

大方向导数. (18)(本题满分 10 分)
v x)]? ? u? ( x)( v x) ? u( x)v? ( x) (I)设函数 u( x), v( x) 可导,利用导数定义证明[u( x)(

(II)设函数 u1 ( x), u2 ( x), ? , un ( x) 可导, f(x) ? u1(x)u2(x)? un(x),写出 f(x )的求导公式.

f ? x?

g ? x?

在 x ? 0 是等价无穷小,求 a, b, k 的值.

114

(19)(本题满分 10 分)
? ? z ? 2 ? x2 ? y 2 , ? ? ? z ? x,
2 2

(20) (本题满 11 分)
A 0, 2, 0

已知曲线 L 的方程为
2 2

起点为 .

?

? ,终点为 B ? 0, ?

2, 0

? ,计算曲线

设向量组 α , α2 , α3 内 R 的一个基, β1 =2α1 +2kα3 , β2 =2α2 , β3 =α1 + ? k +1? α3 .
1

3

积分

I ? ? ? y ? z ?dx ? ? z ? x ? y ? dy ? ( x ? y )dz
L

3 (I)证明向量组 ?1 ?2 ?3 为 R 的一个基;

(II)当 k 为何值时,存在非 0 向量 ξ 在基 α1 , α2 , α3 与基 ?1 ?2 ?3 下的坐标相同,并求 所有的 ξ .

115

(21) (本题满分 11 分)
? 0 2 ?3 ? ? 1 ?2 0 ? ? ? ? ? A ? ? ? 1 3 ?3 ? B = ?0 b 0? ? 1 ?2 a ? ?0 3 1? ? ? 相似于矩阵 ? ?. 设矩阵

求 a , b 的值;
?1 (II)求可逆矩阵 P ,使 P AP 为对角矩阵..

(23) (本题满分 11 分)设总体 X 的概率密度为:
? 1 ,? ? x ? 1, ? f ( x,? ) ? ?1 ? ? ?0, 其他. ?

其中 ? 为未知参数, x1 , x2 , ? , xn 为来自该总体的简单随机样本. (I)求 ? 的矩估计量. (II)求 ? 的最大似然估计量.

?x ? ?2 ln 2, x ? 0, f ? x? ? ? x ? 0. ? ?0, (22) (本题满分 11 分) 设随机变量 X 的概率密度为

对 X 进行独立重复的观测,直到 2 个大于 3 的观测值出现的停止.记 Y 为观测次数. (I)求 Y 的概率分布; (II)求 EY
116

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