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历年考研数学一真题及答案(1987-2015) - 修改


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七、 (本题满分 6 分) 问 ? 为何值时,线性方程组
x1 ? x3 ? ?
4 x1 ? x2 ? 2 x3 ? ? ? 2

八、 (本题满分 8 分) 假设 ? 为 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征值,证明 (1) 1 为 A 的特征值.
?1

6 x1 ? x2 ? 4 x3 ? 2? ? 3

? (2) A ?

为 A 的伴随矩阵 A 的特征值.
*

有解,并求出解的一般形式.

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九、 (本题满分 9 分) 设半径为 R 的球面 ? 的球心在定球面 x2 ? y 2 ? z 2 ? a 2 (a ? 0) 上,问当 R 为何值时,球面 ? 在定 球面内部的那部分的面积最大? 十一、 (本题满分 6 分) 设随机变量 X 与 Y 独立,且 X 服从均值为 1、标准差(均方差)为 2 的正态分布,而 Y 服从 标准正态分布.试求随机变量 Z ? 2 X ? Y ? 3 的概率密度函数.

十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上) (1)已知随机事件 A 的概率 P( A) ? 0.5, 随机事件 B 的概率 P( B) ? 0.6 及条件概率 P( B | A) ? 0.8, 则和事件 A ? B 的概率 P( A ? B) =____________. (2)甲、 乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为 0.6 和 0.5,现已知目标被 命中,则它是甲射中的概率为____________. (3) 若 随 机 变 量 ? 在 (1, 6) 上 服 从 均 匀 分 布 , 则 方 程 x 2 ? ? x ? 1 ? 0 有 实 根 的 概 率 是 ____________.

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1990 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷

(C)发散

(D)收敛性与 a 的取值有关

(4)已知 f ( x) 在 x ? 0 的某个邻域内连续,且 f (0) ? 0, lim 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)
x ? ?t ? 2

f ( x) ? 2, 则在点 x ? 0 处 f ( x) x ?0 1 ? cos x

(A)不可导 (C)取得极大值

(B)可导,且 f ?(0) ? 0 (D)取得极小值

(1)过点 M (1, 2 ? 1) 且与直线

y ? 3t ? 4 垂直的平面方程是_____________.
z ? t ?1

(2)设 a 为非零常数,则 lim( x ? a ) x =_____________.
x ??

(5)已知 β1 、 β2 是非齐次线性方程组 AX ? b 的两个不同的解 , α1 、 α 2 是对应其次线性方程 组 AX ? 0 的基础解析 , k1 、 k2 为任意常数,则方程组 AX ? b 的通解(一般解)必是 (A) k1α1 ? k2 (α1 ? α 2 ) ? β1 ? β 2
2

x?a

(3)设函数 f ( x) ?
2 2
2

1 0

x ?1 x ?1

,则 f [ f ( x)] =_____________.

(B) k1α1 ? k2 (α1 ? α 2 ) ? β1 ? β 2
2

(4)积分 ?0 dx ?x e? y dy 的值等于_____________. (5)已知向量组 α1 ? (1, 2,3, 4), α 2 ? (2,3, 4,5), α 3 ? (3, 4,5, 6), α 4 ? (4,5, 6, 7), 则该向量组的秩是_____________.

(C) k1α1 ? k2 (β1 ? β2 ) ? β1 ? β2
2

(D) k1α1 ? k2 (β1 ? β2 ) ? β1 ? β2
2

三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分) (1)求 ? 1 ln(1 ? x2)dx.
0

(2 ? x)

(2)设 z ? 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一

f (2 x ? y, y sin x), 其中 f (u , v) 具有连续的二阶偏导数,求

?2 z . ?x?y

(3)求微分方程 y?? ? 4 y? ? 4 y ? e?2 x 的通解(一般解). 个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设 f ( x) 是连续函数,且 F ( x) ? ?x f (t )dt , 则 F ?( x) 等于 (A) ? e? x f (e? x ) ? f ( x) (C) e? x f (e? x ) ? f ( x) (B) ? e? x f (e? x ) ? f ( x) (D) e? x f (e? x ) ? f ( x)
e? x

(2)已知函数 f ( x) 具有任意阶导数,且 f ?( x) ? [ f ( x)]2 , 则当 n 为大于 2 的正整数时 , f ( x) 的 n 阶导数 f ( n ) ( x) 是 (A) n ![ f ( x)]n?1 (C) [ f ( x)]2 n (B) n[ f ( x)]n ?1 (D) n ![ f ( x)]2 n

) (3)设 a 为常数,则级数 ? [ sin(na ? 2
n ?1

?

n

1 ] n

(A)绝对收敛

(B)条件收敛
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四、(本题满分 6 分) 求幂级数 ? (2n ? 1) x n 的收敛域,并求其和函数.
n ?0 ?

六、 (本题满分 7 分) 设不恒为常数的函数
f ( x ) 在闭区间 [ a, b] 上连续 , 在开区间 ( a, b) 内可导 , 且 f (a ) ? f (b). 证

明在 (a, b) 内至少存在一点 ? , 使得 f ?(? ) ? 0.

五、(本题满分 8 分) 求曲面积分 I ? ?? yzdzdx ? 2dxdy
S

其中 S 是球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 4 外侧在 z ? 0 的部分.

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七、 (本题满分 6 分) 设四阶矩阵
?1 ?1 0 0 ? ?2 ?0 1 ?1 0 ? ? ? , C ? ?0 B?? ?0 0 1 ?1? ?0 ? ? ? ?0 0 0 1 ? ?0 1 3 4? 2 1 3? ? 0 2 1? ? 0 0 2?

八、 (本题满分 8 分) 求一个正交变换化二次型 f
2 2 ? x12 ? 4 x2 ? 4 x3 ? 4 x1 x2 ? 4 x1 x3 ? 8 x2 x3 成标准型.

且矩阵 A 满足关系式
A(E ? C?1B)?C? ? E

其中 E 为四阶单位矩阵 , C?1 表示 C 的逆矩阵 , C? 表示 C 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩 阵 A.

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(1)已知随机变量 X 的概率密度函数
f ( x) ? 1 ?x e , ?? ? x ? ?? 2

则 X 的概率分布函数 F ( x) =____________. (2)设随机事件 A 、B 及其和事件的概率分别是 0.4、 0.3 和 0.6,若 B 表示 B 的对立事件, 九、 (本题满分 8 分) 质点 P 沿着以 AB 为直径的半 圆周,从点 A(1, 2) 运动到点 B(3, 4) 的 过程中受变力 F 作用(见图). F 的 大小等于点 P 与原点 O 之间的距 离,其方向垂直于线段 OP 且与 y 轴正向的夹角小于 ? . 求变力 F 对
? ? ?

那么积事件 AB 的概率 P( AB ) =____________. (3) 已 知 离 散 型 随 机 变 量
P{ X ? k} ?
X

服从参数为 2 的泊松

( Poisson)

分布,即

2k e ?2 , k ? 0,1, 2,? , 则随机变量 Z ? 3 X ? 2 的数学期望 E ( Z ) =____________. k!

2

质点 P 所作的功. 十一、 (本题满分 6 分) 设二维随机变量 ( X , Y ) 在区域 D : 0 ? x ? 1, y ? x 内服从均匀分布 , 求关于 X 的边缘概率密 度函数及随机变量 Z ? 2 X ? 1 的方差 D( Z ).

十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)
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