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历年考研数学一真题及答案(1987-2015) - 修改


1991 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)

(C)8

(D)9

(4)设 D 是平面 xoy 上以 (1,1) 、 (?1,1) 和 (?1, ?1) 为顶点的三角形区域 , D1 是 D 在第一象限的部 分,则 ?? ( xy ? cos x sin y)dxdy 等于
D

(1)设

2 x ? 1? t ,则 d y =_____________. dx 2 y ? cos t

(A) 2?? cos x sin ydxdy
D1

(B) 2?? xydxdy
D1

2

(C) 4?? ( xy ? cos x sin y)dxdy
D1

(D)0

(2) 由 方 程 xyz ? x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2 所 确 定 的 函 数
dz =_____________.

z ? z ( x, y )

在点

(1, 0, ?1)

处的全微分

(5)设 n 阶方阵 A 、 B 、 C 满足关系式 ABC ? E, 其中 E 是 n 阶单位阵,则必有 (A) ACB ? E (B) CBA ? E (D) BCA ? E

(3) 已知两条直线的方程是 l1 : x ? 1 ?
1

y ?2 z ?3 x ? 2 y ?1 z ? ; l2 : ? ? . 则过 l1 且平行于 l2 的平 0 ?1 2 1 1

(C) BAC ? E

面方程是_____________. (4)已知当 x ? 0 时 ,(1 ? ax ) ? 1 与 cos x ? 1 是等价无穷小,则常数 a =_____________.
?5 ?2 (5)设 4 阶方阵 A ? ? ?0 ? ?0 0? 1 0 0? ? , 则 A 的逆阵 A ?1 =_____________. 0 1 ?2 ? ? 0 1 1? 2 0
1 2 3

三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分) (1)求 lim (cos
x ? 0?

?

x)2 .

? (2)设 n 是曲面 2 x 2 ? 3 y 2 ? z 2 ? 6 在点 P(1,1,1) 处的指向外侧的法向量 ,求函数 u ?

6x2 ? 8 y 2 z

? 在点 P 处沿方向 n 的方向导数.

二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一 个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)曲线 y ?
1 ? e? x 1 ? e? x
2 2

(3) ??? ( x 2 ? y 2 ? z )dv, 其中 ? 是由曲线
?

y 2 ? 2 z 绕 z 轴旋转一周而成的曲面与平面 z ? 4 所围 x?0

城的立体.

(A)没有渐近线 (C)仅有铅直渐近线 (2)若连续函数 f ( x) 满足关系式 f ( x) ? ? 2?
0

(B)仅有水平渐近线 (D)既有水平渐近线又有铅直渐近线
t f ( )dt ? ln 2, 则 f ( x) 等于 2

(A) e (C) e

x

ln 2
? ln 2
? ?

(B) e (D) e
?
n ?1 n ?1

2x

ln 2

x

2x

? ln 2

(3)已知级数 ? (?1)n?1 an ? 2, ? a2 n?1 ? 5, 则级数 ? an 等于
n ?1

(A)3

(B)7
16

四、(本题满分 6 分) 过点 O(0, 0) 和 A(? , 0) 的曲线族 y ? a sin x(a ? 0) 中,求一条曲线 L, 使沿该曲线 O 从到 A 的积分 六、 (本题满分 7 分) 设函数
f ?(c) ? 0.
f ( x)
1 在 [0,1] 上连续 , (0,1) 内可导 , 且 3?2 f ( x) dx ? 3

? (1 ? y )dx ? (2 x ? y)dy 的值最小.
3 L

f (0), 证明在 (0,1)

内存在一点 c, 使

七、 (本题满分 8 分) 已知 α1 ? (1,0, 2,3), α2 ? (1,1,3,5), α3 ? (1, ?1, a ? 2,1), α4 ? (1, 2, 4, a ? 8) 及 β ? (1,1, b ? 3, 5). 五、(本题满分 8 分) 将函数 f ( x) ? 2 ? x (?1 ? x ? 1) 展开成以 2 为周期的傅里叶级数,并由此求级数 ?
1 2 n n ?1
?

(1) a 、 b 为何值时 , β 不能表示成 α1 , α 2 , α3 , α 4 的线性组合? 的和. (2) a 、 b 为何值时 , β 有 α1 , α 2 , α3 , α 4 的唯一的线性表示式?写出该表示式.

17

八、 (本题满分 6 分) 设 A 是 n 阶正定阵 , E 是 n 阶单位阵,证明 A ? E 的行列式大于 1. 十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上) (1) 若 随 机 变 量
X

服从均值为 2、方差为? 的正态分布,且
2

P{2 ? X ? 4} ? 0.3,

P{ X ? 0} =____________.

(2)随机地向半圆 0 ? y ?

2ax ? x 2 (a 为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率
4

与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与 x 轴的夹角小于 ? 的概率为____________.

九、 (本题满分 8 分) 在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点 P( x, y ) 处的曲率等于此曲线在该点的法 线段 PQ 长度的倒数( Q 是法线与 x 轴的交点),且曲线在点 (1,1) 处的切线与 x 轴平行.

十一、 (本题满分 6 分) 设二维随机变量 ( X , Y ) 的密度函数为
f ( x, y ) ?

2 e ? ( x ? 2 y ) x ? 0, y ? 0 0 其它

求随机变量 Z ? X ? 2Y 的分布函数.

18

(C)绝对收敛

(D)收敛性与 a 有关

(3)在曲线 x ? t , y ? ?t 2 , z ? t 3 的所有切线中,与平面 x ? 2 y ? z ? 4 平行的切线 (A)只有 1 条 (C)至少有 3 条 1992 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (B)只有 2 条 (D)不存在

(4)设 f ( x) ? 3x3 ? x 2 x , 则使 f ( n ) (0) 存在的最高阶数 n 为 (A)0 (C)2 (B)1 (D)3

(1)设函数 y ? y( x) 由方程 e x? y ? cos( xy) ? 0 确定,则 dy =_____________.
dx

?1? ?0? ? ? ? (5)要使 ξ1 ? ? 0 ? , ξ 2 ? ? ? 1 ? 都是线性方程组 AX ? 0 的解,只要系数矩阵 A 为 ? 2? ? ?1? ? ? ? ?

(2)函数 u ? ln( x 2 ? y 2 ? z 2 ) 在点 M (1, 2, ?2) 处的梯度 grad u (3) 设
f ( x) ?

M

=_____________.

(A) ? ?2 1 2?
?1 0 2 ? (C) ? ? 0 1 ?1? ? ?

?1 1? x
2

?? ? x ? 0 0? x ??

(B) ? ?

, 则 其 以 2? 为 周 期 的 傅 里 叶 级 数 在 点 x ? ? 处 收 敛 于

2 0 ?1? ? ?0 1 1 ?

_____________. (4)微分方程 y? ? y tan x ? cos x 的通解为 y =_____________. (5)
? a1b1 ?a b (5) 设 A ? ? 2 1 ?? ? ? anb1
r ( A ) =_____________.

? 0 1 ?1? ? (D) ? ? 4 ?2 ?2 ? ? ?0 1 1 ? ?

三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)
a1b2 a2b1 ? anb2 ? a1bn ? ? a2bn ? ? , 其 中 a ? 0, b ? 0, (i ? 1, 2,?, n). 则 矩 阵 i i ? ? ? ? ? anbn ?
x 1 (1)求 lim e ? sin x ? . 2 x ?0

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