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历年考研数学一真题及答案(1987-2015) - 修改


1? 1? x

A

的 秩 (2)设 z ? f (e x sin y, x 2 ? y 2 ), 其中 f 具有二阶连续偏导数,求 (3)设 f ( x) ?
3 1 ? x2 x ? 0 f ( x ? 2)dx. , 求 ? 1 x?0 e? x

?2 z . ?x?y

二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一 个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)当 x ? 1 时,函数 x (A)等于 2 (C)为 ? (2)级数 ? (?1)n (1 ? cos a )( 常数 a ? 0)
n ?1 ?

? 1 x1 e ?1 的极限 x ?1
2

(B)等于 0 (D)不存在但不为 ?
n

(A)发散

(B)条件收敛
19

四、(本题满分 6 分) 求微分方程 y?? ? 2 y? ? 3 y ? e?3 x 的通解. 六、 (本题满分 7 分) 设 f ??( x) ? 0, f (0) ? 0, 证明对任何 x1 ? 0, x2 ? 0, 有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ).

七、 (本题满分 8 分) 五、(本题满分 8 分) 计算曲面积分 ?? ( x3 ? az 2 )dydz ? ( y 3 ? ax 2 )dzdx ? ( z 3 ? ay 2 )dxdy, 其中 ? 为上半球面 z ? a 2 ? x 2 ? y 2
?

在变力 F ? yzi

?

?

? ? x2 y 2 z 2 ? zxj ? xyk 的作用下 , 质点由原点沿直线运动到椭球面 2 ? 2 ? 2 ? 1 上第 a b c
?

一卦限的点 M (? ,? , ? ), 问当 ? 、? 、 ? 取何值时,力 F 所做的功 W 最大?并求出 W 的最大值.

的上侧.

20

八、 (本题满分 7 分) 设向量组 α1 , α 2 , α3 线性相关,向量组 α 2 , α 3 , α 4 线性无关,问: (1) α1 能否由 α 2 , α3 线性表出?证明你的结论. (2) α 4 能否由 α1 , α 2 , α3 线性表出?证明你的结论.
? 1? ?1? ?1? ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ξ1 ? ?1? , ξ 2 ? ? 2 ? , ξ 3 ? ? 3 ? , 又向量 β ? ? 2 ? . ? 1? ? 4? ?9? ? 3? ? ? ? ? ? ? ? ?

九、 (本题满分 7 分) 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 ?1 ? 1, ?2 ? 2, ?3 ? 3, 对应的特征向量依次为

(1)将 β 用 ξ1 , ξ 2 , ξ 3 线性表出. (2)求 A nβ(n 为自然数).

21

十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上) (1)已知 P( A) ? P( B) ? P(C ) ? 1 , P( AB) ? 0, P( AC ) ? P( BC ) ? 1 , 则事件 A 、B 、C 全不发生的概率
4 6

十一、 (本题满分 6 分) 设 随 机 变 量 X 与 Y 独 立 , X 服 从 正 态 分 布 N ( ? , ? 2 ), Y 服 从 [?? , ? ] 上 的 均 匀 分 布 , 试 求
Z ? X

为____________. (2)设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布,则数学期望 E{ X ? e?2 X } =____________.

1 ? Y 的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数 ? 表示,其中 ? ( x) ? 2?

?

x

??

e

?

t2 2

dt ) .

22

1993 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (4)设曲线积分 ?L [ f (t ) ? e x ]sin ydx ? f ( x) cos ydy 与路径无关 , 其中 且 f (0) ? 0, 则 f ( x) 等于
? ex 2 x ?x (C) e ? e ? 1 2
f ( x ) 具有一阶连续导数 ,

(A) e

?x

(1)函数 F ( x) ? ? x (2 ?
1

(2)由曲线

1 )dt ( x ? 0) 的单调减少区间为_____________. t 3 x 2 ? 2 y 2 ? 12 绕 轴旋转一周得到的旋转面在点 (0, 3, 2) 处的指向外侧的 y z?0

? e? x 2 x ?x (D) 1 ? e ? e 2

(B) e

x

单位法向量为_____________. (3) 设函数 f ( x) ? ? x ? x 2 (?? ? x ? ? ) 的傅里叶级数展开式为 a0 ? ? (an cos nx ? bn sin nx), 则其
2
n ?1 ?

?1 2 3? ? (5)已知 Q ? ? ? 2 4 t ? , P 为三阶非零矩阵,且满足 PQ ? 0, 则 ? ?3 6 9? ?

(A) t ? 6 时 P 的秩必为 1 (C) t ? 6 时 P 的秩必为 1

(B) t ? 6 时 P 的秩必为 2 (D) t ? 6 时 P 的秩必为 2

中系数 b3 的值为_____________. (4)设数量场 u ? ln x ? y ? z , 则 div(grad u) =_____________.
2 2 2

三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分) (1)求 lim(sin 2 ? cos 1 ) x .
x ??

(5)设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零,且 A 的秩为 n ? 1, 则线性方程组 AX ? 0 的通解为 _____________. 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一 个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设 f ( x) ? ?0 sin(t 2 )dt , g ( x) ? x3 ? x 4 , 则当 x ? 0 时 , f ( x) 是 g ( x) 的 (A)等价无穷小 (C)高阶无穷小 (B)同价但非等价的无穷小 (D)低价无穷小
sin x

x

x

x (2)求 ? x xe dx.

e ?1

(3)求微分方程 x 2 y? ? xy ? y 2 , 满足初始条件 y

x ?1

? 1 的特解.

(2)双纽线 ( x 2 ? y 2 )2 ? x 2 ? y 2 所围成的区域面积可用定积分表示为 (A) 2?04 cos 2? d? (C) 2?04
?

?

(B) 4?04 cos 2? d? (D) 1 ?04 (cos 2? ) 2 d?
2
x? y ?6 2y ? z ? 3
?

?

cos 2? d?

(3)设有直线 l1 : x ? 1 ?
1

y ?5 z ?8 与 l2 : ? ?2 1

则 l1 与 l2 的夹角为

(A) ? (C) ?

6 3

(B) ? (D) ?

4 2
23

四、(本题满分 6 分)
2 2 2 2 2 计算 ? ?? 2 xzdydz ? yzdzdx ? z dxdy, 其中 ? 是由曲面 z ? x ? y 与 z ? 2 ? x ? y 所围立体的表
?

六、(本题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分) (1) 设在 [0, ??) 上函数 仅有一个零点. (2)设 b ? a ? e, 证明 a
b

f ( x ) 有连续导数 , 且 f ?( x) ? k ? 0, f (0) ? 0, 证明 f ( x ) 在 (0, ??) 内有且

面外侧.

? ba .

七、 (本题满分 8 分) 五、(本题满分 7 分) 求级数 ?
(?1) n (n 2 ? n ? 1) 的和. 2n n ?0
?

已知二次型

2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) ? 2 x12 ? 3 x2 ? 3 x3 ? 2ax2 x3 (a ? 0)

通过正交变换化成标准形

2 2 f ? y12 ? 2 y2 ? 5 y3 , 求参数 a 及所用的正交变换矩阵.

24

八、 (本题满分 6 分) 设 A 是 n ? m 矩阵 , B 是 m ? n 矩阵,其中 n ? m, I 是 n 阶单位矩阵,若 AB ? I, 证明 B 的列向量组 线性无关. 十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上) (1)一批产品共有 10 个正品和 2 个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回, 则第二次抽出的是次品的概率为____________. (2)设随机变量 X 服从 (0, 2) 上的均匀分布,则随机变量 Y ? X 在 (0, 4) 内的概率分布密度
2

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