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历年考研数学一真题及答案(1987-2015) - 修改


fY ( y ) =____________.

十一、 (本题满分 6 分) 九、 (本题满分 6 分) 设物体 A 从点 (0,1) 出发,以速度大小为常数 v 沿 y 轴正向运动.物体 B 从点 (?1, 0) 与 A 同时 出发,其速度大小为 2v, 方向始终指向 A, 试建立物体 B 的运动轨迹所满足的微分方程 ,并写 出初始条件. 设随机变量 X 的概率分布密度为 f ( x) ? 1 e ? x , ?? ? x ? ??.
2

(1)求 X 的数学期望 EX 和方差 DX . (2)求 X 与 X 的协方差,并问 X 与 X 是否不相关? (3)问 X 与 X 是否相互独立?为什么?

25

(3)设常数 ? ? 0, 且级数 ? an2 收敛,则级数 ? (?1)n
n ?1

?

?

an n2 ? ?

n ?1

(A)发散 1994 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (4) lim
x ?0

(B)条件收敛 (D)收敛性与 ? 有关

(C)绝对收敛

a tan x ? b(1 ? cos x) c ln(1 ? 2 x) ? d (1 ? e
? x2

)

? 2, 其中 a 2 ? c 2 ? 0, 则必有

(A) b ? 4d (1) lim cot ? ( 1 ? 1 ) = x ?0 sin x x _____________. (C) a ? 4c

(B) b ? ?4d (D) a ? ?4c

(2)曲面 z ? e x ? 2 xy ? 3 在点 (1, 2, 0) 处的切平面方程为_____________. (3)设 u ? e? x sin x , 则
y

? 2u 在点 (2, 1 ) 处的值为_____________. ?x?y ?
2 2

(5)已知向量组 α1 , α 2 , α3 , α 4 线性无关,则向量组 (A) α1 ? α 2 , α 2 ? α3 , α3 ? α 4 , α 4 ? α1 线性无关 (C) α1 ? α 2 , α 2 ? α3 , α3 ? α 4 , α 4 ? α1 线性无关 (B) α1 ? α 2 , α 2 ? α3 , α3 ? α 4 , α 4 ? α1 线性无关 (D) α1 ? α 2 , α 2 ? α3 , α3 ? α 4 , α 4 ? α1 线性无关

(4)设区域 D 为 x 2 ? y 2 ? R 2 , 则 ?? ( x 2 ? y2 )dxdy =_____________.
D

a

b

(5)已知 α ? [1, 2,3], β ? [1, 1 , 1 ], 设 A ? α?β, 其中 α? 是 α 的转置,则 A n =_____________. 2 3

三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)
x ? cos(t 2 )

二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一 个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
? ? (1)设 M ? ? 2? sin x2 cos4 xdx,N ? ? 2? (sin 3 x ? cos4 x)dx,P ? ? 2? ( x 2 sin 3 x ? cos 4 x)dx, 则有 ? 1? x ? ? 2 2 2 ?

(1)设

y ? t cos(t ) ? ?
2

t2

1 2 u

1

cos udu

,求 dy 、 d
dx

2

y
2

dx

在t ?

?
2

的值.

(2)将函数 f ( x) ? 1 ln 1 ? x ? 1 arctan x ? x 展开成 x 的幂级数.
4 1? x dx (3)求 ? . sin(2 x) ? 2sin x 2

(A) N ? P ? M (C) N ? M
?P

(B) M

?P?N ?N

(D) P ? M

(2)二元函数 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处两个偏导数 f x?( x0 , y0 ) 、 f y?( x0 , y0 ) 存在是 f ( x, y ) 在该点连续 的 (A)充分条件而非必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要条件而非充分条件 (D)既非充分条件又非必要条件
26

六、(本题满分 8 分) 四、(本题满分 6 分) 计算曲面积分 ??
S

设 f ( x) 在点 x ? 0 的某一邻域内具有二阶连续导数,且 lim
x ?0

? f ( x) 1 ? 0, 证明级数 ? f ( ) 绝对收 x n n ?1

xdydz ? z 2 dxdy , 其中 S 是由曲面 x 2 ? y 2 ? R 2 及 z ? R, z ? ? R( R ? 0) 两平面所围 x2 ? y 2 ? z 2

敛.

成立体表面的外侧.

七、 (本题满分 6 分) 五、(本题满分 9 分) 已知点 A 与 B 的直角坐标分别为 (1, 0, 0) 与 (0,1,1). 线段 AB 绕 x 轴旋转一周所成的旋转曲面 设
2 f ( x ) 具有二阶连续函数 , f (0) ? 0, f ?(0) ? 1, 且 [ xy ( x ? y ) ? f ( x) y ]dx ? [ f ?( x) ? x y ]dy ? 0 为一全

为 S. 求由 S 及两平面 z ? 0, z ? 1 所围成的立体体积. 微分方程,求 f ( x) 及此全微分方程的通解.

27

八、 (本题满分 8 分) 设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为
x1 ? x2 ? 0 x2 ? x4 ? 0

九、 (本题满分 6 分) , 设 A 为 n 阶非零方阵 , A* 是 A 的伴随矩阵 , A? 是 A 的转置矩阵,当 A
*

? A?

时,证明 A ? 0.

又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为 k1 (0,1,1, 0) ? k2 (?1, 2, 2,1). (1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析. (2)问线性方程组 (Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解 ?若有,则求出所有的非零公共解.若 没有,则说明理由.

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十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上) (1)已知 A 、 B 两个事件满足条件 P( AB) ? P( AB), 且 P( A) ? p, 则 P( B) =____________. (2)设相互独立的两个随机变量 X , Y 具有同一分布率,且 X 的分布率为
X

十一、 (本题满分 6 分) 设随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N (1,32 ) 和 N (0, 42 ), 且 X 与 Y 的相关系数 ? xy ? ? 1 , 设
2
Z? X Y ? , 3 2

0
1 2

1
1 2

P

(1)求 Z 的数学期望 EZ 和 DZ 方差. (2)求 X 与 Z 的相关系数 ? xz . (3)问 X 与 Y 是否相互独立?为什么?

则随机变量 Z ? max{ X , Y } 的分布率为____________.

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1995 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (4)设 un ? (?1)n ln(1 ?
? ? n ?1 ? n ?1
n

1 ), 则级数 n

(A) ? un 与 ? u 2 都收敛 (C) ? un 收敛,而 ? u 2 发散
n ?1 n ?1
n

(B) ? un 与 ? u 2 都发散
n ?1 ? n ?1
n

?

?

?

(D) ? un 收敛,而 ? u 2 发散
n ?1 n ?1
n

?

(1) lim(1 ? 3x) sin x =_____________.
x ?0

2

(2) d ? 02 x cos t 2 dt = dx x
?

_____________.

(3)设 (a ? b)?c ? 2, 则 [(a ? b) ? (b ? c)]?(c ? a) =_____________. (4)幂级数 ?
n x 2 n ?1 的收敛半径 R =_____________. n n n ?1 2 ? ( ?3)

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