首页 考试资料幻灯片工程技术公务员考试小学教学中学教学大学教学外语资料
历年考研数学一真题及答案(1987-2015) - 修改


33

四、(本题共 2 小题,每小题 6 分,满分 12 分) (1)计算曲面积分 ?? (2 x ? z )dydz ? zdxdy, 其中 S 为有向曲面 z ? x 2 ? y 2 (0 ? x ? 1), 其法向量与 z
S

六、(本题满分 7 分) 设对任意 x ? 0, 曲线 y ? 一般表达式.
f ( x) 上点 ( x, f ( x)) 处的切线在 y 轴上的截距等于

1 x f (t )dt , 求 f ( x) 的 x ?0

轴正向的夹角为锐角. (2)设变换
? z ? z ? z u ? x ? 2y ?2 z 可把方程 6 2 ? ? 2 ? 0 简化为 ? 0, 求常数 a. ?x ?x?y ?y ?u?v v ? x ? ay
2 2 2

七、 (本题满分 8 分) 五、(本题满分 7 分) 求级数 ?
1 2 n n ?1 ( n ? 1)2
?

的和.

f ( x ) 在 [0,1] 上具有二阶导数 , 且满足条件

f ( x) ? a, f ??( x) ? b, 其中 a, b 都是非负常数 , c 是

(0,1) 内任意一点.证明 f ?(c) ? 2a ?

b . 2

34

八、 (本题满分 6 分) 设 A ? I ? ξξT , 其中 I 是 n 阶单位矩阵 , ξ 是 n 维非零列向量 , ξT 是 ξ 的转置.证明 (1) A
2

九、 (本题满分 8 分)
2 2 已知二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) ? 5x12 ? 5x2 ? cx3 ? 2 x1 x2 ? 6 x1 x3 ? 6 x2 x3 的秩为 2,

?A

的充分条件是 ξT ξ ? 1.

(2)当 ξT ξ ? 1 时 , A 是不可逆矩阵.

(1)求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值. (2)指出方程 f ( x1 , x2 , x3 ) ? 1 表示何种二次曲面.

35

十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上) (1)设工厂 A 和工厂 B 的产品的次品率分别为 1%和 2%,现从由 A 和 B 的产品分别占 60%和 40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属 A 生产的概率是____________. (2) 设 ? ,? 是两个相互独立且均服从正态分布 N (0, ( 的数学期望 E ( ? ? ? ) =____________.
1 2 ) ) 的随机变量 , 则随机变量 ? ? ? 2

十一、 (本题满分 6 分) 设 ? ,? 是 两 个 相 互 独 立 且 服 从 同 一 分 布 的 两 个 随 机 变 量 , 已 知 ? 的 分 布 率 为
P (? ? i ) ? 1 , i ? 1, 2, 3. 3

又设 X

? max(? ,? ), Y ? min(? ,? ).

(1)写出二维随机变量的分布率:
X
Y

1

2

3

1 2 3

(2)求随机变量 X 的数学期望 E ( X ).

36

1997 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)
1 x =_____________. (1) lim x ?0 (1 ? cos x ) ln(1 ? x ) 3sin x ? x 2 cos

(2)设在区间 [a, b] 上 f ( x) ? 0, f ?( x) ? 0, f ??( x) ? 0. 令
S1 ? ? f ( x)dx, S2 ? f (b)(b ? a), S3 ?
a b

1 [ f (a) ? f (b)](b ? a), 则 2

(A) S1 ? S2 ? S3 (C) S3 ? S1 ? S2

(B) S2 ? S1 ? S3 (D) S2 ? S3 ? S1

(2) 设 幂 级 数 ? an x n 的 收 敛 半 径 为 3, 则 幂 级 数 ? nan ( x ? 1)n?1 的 收 敛 区 间 为
n ?1

?

?

(3)设 F ( x) ? ?x

x ? 2?

esin t sin tdt , 则 F ( x)

n ?1

(A)为正常数 (C)恒为零

(B)为负常数 (D)不为常数

_____________.

(3)对数螺线 ? ? e? 在点 ( ? ,? ) ? (e 2 , ? ) 处切线的直角坐标方程为_____________.
2

?

(4)
?1 2 ?2 ? 3? (4)设 A ? ? ?4 t ? , B 为三阶非零矩阵,且 AB ? O, 则 t =_____________. ? ? 3 ?1 1 ? ?

? a1 ? ? b1 ? ? c1 ? ? ? ? ? ? (4)设 α1 ? ? a2 ? , α 2 ? ?b2 ? , α3 ? ? ?c2 ? , 则三条直线 ? ? ? ? a3 ? ? ?b3 ? ? ? c3 ? ?
a1 x ? b1 y ? c1 ? 0, a2 x ? b2 y ? c2 ? 0, a3 x ? b3 y ? c3 ? 0

(其中 ai2 ? bi2 ? 0, i ? 1, 2,3 )交于一点的充要条件是 (B) α1 , α 2 , α3 线性无关 (D) α1 , α 2 , α3 线性相关 , α1 , α 2 线性无关

(A) α1 , α 2 , α3 线性相关 (5)袋中有 50 个乒乓球,其中 20 个是黄球,30 个是白球,今有两人依次随机地从袋中各 取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是_____________. (C)秩 r (α1 , α 2 , α3 ) ? 秩 r (α1 , α 2 )

(5)设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 的方差分别为 4 和 2,则随机变量 3 X ? 2Y 的方差是 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一 个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)二元函数 f ( x, y) ? (A)连续,偏导数存在 (C)不连续,偏导数存在
xy ( x, y ) ? (0, 0) x ? y2 ,在点 (0, 0) 处 0 ( x, y ) ? (0, 0)
2

(A)8 (C)28

(B)16 (D)44

(B)连续,偏导数不存在 (D)连续,偏导数不存在

37

三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分) (1)计算 I ? ??? ( x 2 ? y 2 )dv, 其中 ? 为平面曲线
?

四、(本题共 2 小题,第(1)小题 6 分,第(2)小题 7 分,满分 13 分) (1) 设直线 l :
a, b 之值.

y 2 ? 2 z 绕 z 轴旋转一周所成的曲面与平面 x?0

x? y ?b ? 0 x ? ay ? z ? 3 ? 0

在平面 ? 上 , 而平面 ? 与曲面 z ? x 2 ? y 2 相切于点 (1, ?2, 5), 求

z ? 8 所围成的区域.

x2 ? y 2 ? 1 (2) 计算曲线积分 ? 其中 是曲线 从 z 轴正向往 z c ? ( z ? y)dx ? ( x ? z )dy ? ( x ? y)dz,
c

x? y?z ?2

(2)设函数 f (u ) 具有二阶连续导数,而 z ? f (e x sin y ) 满足方程

?2 z ?2 z ? ? e 2 x z , 求 f (u ). ?x 2 ?y 2

轴负向看 c 的方向是顺时针的. (3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的,设该人群的总人数 为 N , 在 t ? 0 时刻已掌握新技术的人数为 x0 , 在任意时刻 t 已掌握新技术的人数为 x(t )( 将 x(t ) 视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比 例常数 k ? 0, 求 x(t ).

五、(本题满分 6 分) 设 性.
f ( x ) 连续 , ? ( x) ?

?

1

0

f ( xt )dt , 且 lim f ( x) ? A( A 为常数),求 ? ?( x) 并讨论 ? ?( x) 在 x ? 0 处的连续
x ?0

12345678910111213141516171819202122232425

 


 

  【Top

最新搜索