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历年考研数学一真题及答案(1987-2015) - 修改


x

38

六、(本题满分 8 分) 设 a1 ? 0, an?1 ? 1 (an ?
2 1 )(n ? 1, 2,?), 证明 an

(1) lim an 存在. x ?? (2)级数 ? (
n ?1 ?

an ? 1) 收敛. an ?1

八、 (本题满分 5 分) 设 A 是 n 阶可逆方阵,将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩阵记为 B. (1)证明 B 可逆. (2)求 AB
?1

.

七、(本题共 2 小题,第(1)小题 5 分,第(2)小题 6 分,满分 11 分) (1)设 B 是秩为2的 5 ? 4 矩阵 , α1 ? [1,1, 2,3]T , α2 ? [?1,1, 4, ?1]T , α3 ? [5, ?1, ?8,9]T 是齐次线性方程组
Bx ? 0 的解向量,求 Bx ? 0 的解空间的一个标准正交基.

? 2 ?1 2 ? ?1? ? ? ? (2)已知 ξ ? ? 1 ? 是矩阵 A ? ? ? 5 a 3 ? 的一个特征向量. ? ? ? ?1? ? ? ?1 b ?2 ? ?

1)试确定 a, b 参数及特征向量 ξ 所对应的特征值. 2)问 A 能否相似于对角阵?说明理由.

39

九、 (本题满分 7 分) 从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗,假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相 互独立的,并且概率都是 2 . 设 X 为途中遇到红灯的次数,求随机变量 X 的分布律、分布函数
5

十、 (本题满分 5 分) 设总体 X 的概率密度为
f ( x) ?

和数学期望.

(? ? 1) x? 0

0 ? x ?1 其它

其中 ? ? ?1 是未知参数 , X 1 , X 2 ,?, X n 是来自总体 X 的一个容量为 n 的简单随机样本,分别用矩 估计法和极大似然估计法求 ? 的估计量.

40

1998 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)

(4)设矩阵
? a1 b1 c1 ? ? a b c ? 是满秩的,则直线 x ? a3 y ? b3 z ? c3 与直线 x ? a1 y ? b1 z ? c1 ? ? ? ? ? 2 2 2? a1 ? a2 b1 ? b2 c1 ? c2 a2 ? a3 b2 ? b3 c2 ? c3 ? ? a3 b3 c3 ? ?

(A)相交于一点 (1) lim 1 ? x ? 21 ? x ? 2 =_____________. x ?0 x (2)设 z ? 1
x f ( xy ) ? y? ( x ? y ), f , ? 具有二阶连续导数,则
2

(B)重合 (D)异面

(C)平行但不重合
?2 z =_____________. ?x?y

(5)设 A, B 是两个随机事件,且 0 ? P( A) ? 1, P( B) ? 0, P( B | A) ? P( B | A), 则必有 (A) P( A | B) ? P( A | B) (C) P( AB) ? P( A) P( B) 三、(本题满分 5 分) (B) P( A | B) ? P( A | B) (D) P( AB) ? P( A) P( B)

(3)设 l 为椭圆 x

4

?

y2 ? 1, 其周长记为 a, 则 ? (2 xy ? 3 x 2 ? 4 y 2 )ds =_____________. ? 3 L
*

(4) 设 A 为 n 阶矩阵 , A ? 0, A 为 A 的伴随 矩阵 , E 为 n 阶单位矩 阵 . 若 A 有特征 值 ? , 则
( A ) ? E 必有特征值_____________.
* 2

(5)设平面区域 D 由曲线 y ? 1 及直线 y ? 0, x ? 1, x ? e2 所围成,二维随机变量 ( X , Y ) 在区域 D
x

求直线 l : x ? 1 ?
1

y z ?1 在平面 ? : x ? y ? 2 z ? 1 ? 0 上的投影直线 l0 的方程,并求 l0 绕 y 轴旋转 ? 1 ?1

一周所成曲面的方程.

上服从均匀分布,则 ( X , Y ) 关于 X 的边缘概率密度在 x ? 2 处的值为_____________.

二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一 个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设 f ( x) 连续,则 (A) xf ( x 2 ) (C) 2 xf ( x 2 )
d x tf ( x 2 ? t 2 )dt = dx ?0

(B) ? xf ( x 2 ) (D) ?2 xf ( x 2 )

(2)函数 f ( x) ? ( x 2 ? x ? 2) x3 ? x 不可导点的个数是 (A)3 (B)2 (C)1 (D)0
y?x ? ? , 且当 ?x ? 0 时 , ? 是 ?x 的高阶无穷 1 ? x2

(3)已知函数 y ? y( x) 在任意点 x 处的增量 ?y ? 小, y (0) ? ? ,则 y (1) 等于 (A) 2? (B) ? (C) e 4 (D) ? e 4
?

?

41

四、(本题满分 6 分) 确定常数 ? , 使在右半平面 x ? 0 上的向量 A( x, y) ? 2 xy( x4 ? y 2 )? i ? x2 ( x4 ? y 2 )? j 为某二元函数
u ( x, y ) 的梯度,并求 u ( x, y ).

六、(本题满分 7 分)
? ( z ? a ) dxdy 2 2 2 计算 ?? axdydz , 其中 ? 为下半平面 z ? ? a ? x ? y 的上侧 , a 为大于零的常数. 2 2 2 12
2 ?

(x ? y ? z )

七、(本题满分 6 分)
2? ? ? ? ? sin n sin n sin ? ? 求 lim ? ? ?? ? . x ?? 1 1? n ? 1 ? n? n? ? 2 n? ?

五、(本题满分 6 分) 从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度 y( 从海平面算起) 与下沉速度 v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下 沉过程中还受到阻力和浮力的作用 .设仪器的质量为 m, 体积为 B, 海水密度为 ? , 仪器所受的 阻力与下沉速度成正比,比例系数为 k (k ? 0). 试建立 y 与 v 所满足的微分方程,并求出函数关 系式 y ? y (v). 八、 (本题满分 5 分) 设正向数列 {an } 单调减少,且 ? (?1) n an 发散,试问级数 ? (
n ?1 ?

?

n ?1

1 n ) 是否收敛?并说明理由. an ? 1

42

九、 (本题满分 6 分) 设y?
f ( x) 是区间 [0,1] 上的任一非负连续函数.

十、 (本题满分 6 分)
? x? ?? ? ? ? ? 已知二次曲面方程 x ? ay ? z ? 2bxy ? 2 xz ? 2 yz ? 4 可以经过正交变换 ? y ? ? P ? ?? ? 化为椭圆 ? ? ?z? ? ?? ? ?
2 2 2

(1)试证存在 x0 ? (0,1), 使得在区间 [0, x0 ] 上以 f ( x0 ) 为高的矩形面积,等于在区间 [ x0 ,1] 上以
y ? f ( x) 为曲边的曲边梯形面积.

(2)又设 f ( x) 在区间 (0,1) 内可导,且 f ?( x) ? ? 2 f ( x) , 证明(1)中的 x0 是唯一的.
x

柱面方程? 2 ? 4? 2 ? 4, 求 a, b 的值和正交矩阵 P.

43

十一、 (本题满分 4 分) 设 A 是 n 阶矩阵,若存在正整数 k , 使线性方程组 A 证明:向量组 α, Aα,? , A k ?1α 是线性无关的.
k

x ? 0 有解向量 α, 且 A k ?1α ? 0.

十二、 (本题满分 5 分) 已知方程组
a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1,2 n x2 n ? 0 a21 x1 ? a22 x2 ? ? ? a2,2 n x2 n ? 0 ? an1 x1 ? an 2 x2 ? ? ? an ,2 n x2 n ? 0

( Ⅰ)

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