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高中数学知识点总结(最全版)96


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对称轴 x ? k? ? k ?? ?

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无对称轴

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无对称轴

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第二章 平面向量 16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ?三角形法则的特点:首尾相连. ?平行四边形法则的特点:共起点. ?三角形不等式:a ? b ? a ? b ? a ? b .
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?运算性质:①交换律: a ? b ? b ? a ; ②结合律: a ? b ? c ? a ? b ? c ;③ a ? 0 ? 0 ? a ? a . ?坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 18、向量减法运算: ?三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ?坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .

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? ? ? ? 设 ? 、? 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? ,? x2 , y2 ? , 则? ??

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19、向量数乘运算: ? ? ?实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ①

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②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反;当 ? ? 0 时, ? a ? 0 . ?运算律:① ? ? ?a ? ? ? ?? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ?a ? ?a ;③ ? a ? b ? ? a ? ?b . ?坐标运算:设 a ? ? x, y ? ,则 ?a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? . 20、向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a . 设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,其中 b ? 0 ,则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时,向量 a 、 b b ? 0 共线. 21、平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a ,有 且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 . (不共线的向量 e1 、 e2 作为这一平面内所有向量的一组基底) 22、分点坐标公式:设点 ? 是线段 ?1?2 上的一点, ? 1 、 ?2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,当 ?1? ? ? ??2 时, 点 ? 的坐标是 ?

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? x1 ? ? x2 y1 ? ? y2 ? 时,就为中点公式。) , (当 ? ? 1 ?. 1? ? ? ? 1? ?

23、平面向量的数量积: ? a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0 ? ? ? 180 .零向量与任一向量的数量积为 0 .
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?性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a ? b ? a ? b ? 0 .②当 a 与 b 同向时, a ? b ? a b ;当 a 与 b 反向时,

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? ? ? ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? ? a b ; a ? a ? a 2 ? a 或 a ? a ? a .③ a ? b ? a b .
?运算律:① a ? b ? b ? a ;② ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ;③ a ? b ? c ? a ? c ? b ? c . ?坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 .

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? ? ? ? ? 2 2 ? x2 ? y2 , 或 a ? x ? y . 设 a ? ? x1 , y1 ? ,b ? ? x2 , y2 ? , 则 a ?b ?xx 1 2? yy1 2 ? 0 . ? ? ? x1 x2 ? y1 y2 a ?b ? ? ? ? ? 设 a 、b 都是非零向量,a ? ? x1 , y1 ? ,b ? ? x2 , y2 ? ,? 是 a 与 b 的夹角,则 cos ? ? ? ? ? . 2 2 a b x12 ? y12 x2 ? y2
若 a ? ? x, y ? , 则a

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知识链接:空间向量 空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明,求值的应用进行总结 归纳. 1、直线的方向向量和平面的法向量 ?.直线的方向向量: 若 A、B 是直线 l 上的任意两点,则 AB 为直线 l 的一个方向向量;与 AB 平行的任意非零向量也是直线 l 的 方向向量. ?.平面的法向量: 若向量 n 所在直线垂直于平面 ? ,则称这个向量垂直于平面 ? ,记作 n ? ? ,如果 n ? ? ,那么向量 n 叫做 平面 ? 的法向量. ?.平面的法向量的求法(待定系数法) : ①建立适当的坐标系. ②设平面 ? 的法向量为 n ? ( x, y, z) . ③求出平面内两个不共线向量的坐标 a ? (a1, a2 , a3 ), b ? (b1, b2 , b3 ) .

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? ? ? ?n ? a ? 0 ④根据法向量定义建立方程组 ? ? ? . n ? b ? 0 ? ?
⑤解方程组,取其中一组解,即得平面 ? 的法向量. (如图)

1、 用向量方法判定空间中的平行关系 ?线线平行 设直线 l1 , l2 的方向向量分别是 a 、 b ,则要证明 l1 ∥ l2 ,只需证明 a ∥ b ,即 a ? kb(k ? R) . 即:两直线平行或重合 ?线面平行 两直线的方向向量共线。

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