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高中数学知识点总结(最全版)96


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①(法一)设直线 l 的方向向量是 a ,平面 ? 的法向量是 u ,则要证明 l ∥ ? ,只需证明 a ? u ,即 a ? u ? 0 . 即:直线与平面平行 直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外 ②(法二)要证明一条直线和一个平面平行,也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即 可.
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?面面平行 若平面 ? 的法向量为 u ,平面 ? 的法向量为 v ,要证 ? ∥ ? ,只需证 u ∥ v ,即证 u ? ? v . 即:两平面平行或重合 两平面的法向量共线。 3、用向量方法判定空间的垂直关系 ?线线垂直 设直线 l1 , l2 的方向向量分别是 a 、 b ,则要证明 l1 ? l2 ,只需证明 a ? b ,即 a ? b ? 0 . 即:两直线垂直 ?线面垂直 两直线的方向向量垂直。

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①(法一)设直线 l 的方向向量是 a ,平面 ? 的法向量是 u ,则要证明 l ? ? ,只需证明 a ∥ u ,即 a ? ? u .

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? ?? ? ?? ?? ? ? ?a ? m ? 0 , 则l ? ? . ②(法二)设直线 l 的方向向量是 a ,平面 ? 内的两个相交向量分别为 m 、 n ,若 ? ? ? ? ?a ? n ? 0
即:直线与平面垂直 方向向量都垂直。 ?面面垂直 直线的方向向量与平面的法向量共线 直线的方向向量与平面内两条不共线直线的

若平面 ? 的法向量为 u ,平面 ? 的法向量为 v ,要证 ? ? ? ,只需证 u ? v ,即证 u ? v ? 0 . 即:两平面垂直 两平面的法向量垂直。 4、利用向量求空间角 ?求异面直线所成的角 已知 a , b 为两异面直线,A,C 与 B,D 分别是 a , b 上的任意两点, a , b 所成的角为 ? ,

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???? ??? ? AC ? BD 则 cos ? ? ???? ??? ?. AC BD
?求直线和平面所成的角 ①定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角

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? ? ? ? ②求法: 设直线 l 的方向向量为 a , 平面 ? 的法向量为 u , 直线与平面所成的角为 ? ,a 与 u 的夹角为 ? , 则

? 为 ? 的余角或 ? 的补角
的余角.即有:

? ? a ?u sin ? ? cos ? ? ? . a u

?求二面角 ①定义:平面内的一条直线把平面分为两个部分,其中的每一部分叫做半平面;从一条直线出发的两个半平面 所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面
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二面角的平面角是指在二面角 ? ? l ? ? 的棱上任取一点 O,分别在两个半平面内作射线 AO ? l , BO ? l , 则 ?AOB 为二面角 ? ? l ? ? 的平面角. 如图:

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A

B
O

l B

O

②求法: 设二面角 ? ? l ? ? 的两个半平面的法向量分别为 m 、 再设 m 、 二面角 ? ? l ? ? 的 n, n 的夹角为 ? , 平面角为 ? ,则二面角 ? 为 m 、 n 的夹角 ? 或其补角 ? ? ? . 根据具体图形确定 ? 是锐角或是钝角:

A

?? ?

?? ?

?? ?

?? ? m?n ◆如果 ? 是锐角,则 cos ? ? cos ? ? ?? ? , m n ?? ? m?n 即 ? ? arccos ?? ? ; m n ?? ? m?n ◆ 如果 ? 是钝角,则 cos ? ? ? cos ? ? ? ?? ? , m n
?? ? ? m?n ? 即 ? ? arccos ? ? ?? ? ? . ? m n? ? ?
5、利用法向量求空间距离 ?点 Q 到直线 l 距离

若 Q 为直线 l 外的一点, P 在直线 l 上, a 为直线 l 的方向向量, b = PQ ,则点 Q 到直线 l 距离为

?

? ? ???

1 ? ? ? ? h ? ? (| a || b |) 2 ? (a ? b ) 2 |a|
⑵点 A 到平面 ? 的距离 若点 P 为平面 ? 外一点,点 M 为平面 ? 内任一点, 平面 ? 的法向量为 n ,则 P 到平面 ? 的距离就等于 MP 在法向量 n 方向上的投影的绝对值. 即 d ? MP cos n, MP

?

????

?

????

??????

? ???? ???? n ? M P ? MP ? ? ???? n MP ? ???? n ? MP ? ? n
⑶直线 a 与平面 ? 之间的距离 当一条直线和一个平面平行时,直线上的各点到平面的距离相等。由此可知,直线到平面的距离可转化为求直 线上任一点到平面的距离,即转化为点面距离。

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? ???? n ? MP 即d ? ? . n
⑷两平行平面 ? , ? 之间的距离 利用两平行平面间的距离处处相等,可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。

? ???? n ? MP 即d ? ? . n
?

?异面直线间的距离 设向量 n 与两异面直线 a , b 都垂直, M ? a, P ? b, 则两异面直线 a , b 间的距离 d 就是 MP 在向量 n 方向上投 影的绝对值。

????

?

? ???? n ? MP 即d ? ? . n

6、三垂线定理及其逆定理 ?三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直

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P
O

PO ? ? , O ? ? ? ? 推理模式: PA ? ? ? A ? ? a ? PA a ? ? , a ? OA ? ?

A

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a

概括为:垂直于射影就垂直于斜线. ?三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂 直
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PO ? ? , O ? ? ? ? 推理模式: PA ? ? ? A ? ? a ? AO a ? ? , a ? AP ? ?
概括为:垂直于斜线就垂直于射影. 7、三余弦定理 设 AC 是平面 ? 内的任一条直线, AD 是 ? 的一条斜线 AB 在 ? 内的射影, 且 BD⊥AD, 垂足为 D.设 AB 与 ? (AD) 所成的角为 ? 1 , AD 与 AC 所成的角为 ? 2 , AB 与 AC 所成的角为 ? .则 cos? ? cos?1 cos? 2 .

B A ?
?1 ?2 ?

D C
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8、 面积射影定理 所成的二面角的大小为锐二面角 ? ,则

已知平面 ? 内一个多边形的面积为 S S原 ,它在平面 ? 内的射影图形的面积为 S ? S射 ,平面 ? 与平面 ?

? ?

? ?

cos? ?

S ' S射 = . S S原

9、一个结论 长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 l1、l2、l3 ,夹角分别为 ?1、? 2、?3 ,则有

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