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高中数学知识点总结(最全版)96


l 2 ? l12 ? l22 ? l32 ? cos2 ?1 ? cos2 ?2 ? cos2 ?3 ? 1

? sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? sin2 ?3 ? 2 .

(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例). 第三章 三角恒等变换 24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ? cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;? cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ? tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?

( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ;

? tan ?? ? ? ? ?

( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1? tan ? tan ? ? ) .

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
2 2 2 ? sin 2? ? 2sin ? cos ? . ? 1 ? sin 2? ? sin ? ? cos ? ? 2 sin ? cos? ? (sin? ? cos? )

? cos 2? ? cos

2

? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?
?
,1 ? cos ? ? 2 sin 2

? 升幂公式 1 ? cos ? ? 2 cos 2

?

2 2 cos 2? ? 1 1 ? cos 2? 2 , sin ? ? . ? 降幂公式 cos 2 ? ? 2 2
26、

万能公式: α α 2 t an 1 ? t an2 2 ; cosα ? 2 sinα ? α α 1 ? t an2 1 ? t an2 2 2 2 tan ? tan 2? ? . 1 ? tan 2 ?

27、

半角公式 : α 1 ? cos α α 1 ? cos α cos ? ? ; sin ? ? 2 2 2 2 α 1 ? cos α sinα 1 ? cos α t an ? ? ? ? 2 1 ? cos α 1 ? cos α sin α 第 - 43 - 页 共 102 页

? (后两个不用判断符号,更加好用)
28、合一变形 ? 把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的 y ? A sin(?x ? ? ) ? B 形 式。 ? sin ? ? ? cos ? ?

?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?

? . ?

29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运用三角公式, 掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下: (1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的和差,倍 半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的变形如: ① 2? 是 ? 的二倍; 4? 是 2? 的二倍; ? 是 ② 15 ? 45 ? 30 ? 60 ? 45 ?
o o o o o

? ? ? 的二倍; 是 的二倍; 2 2 4
; cos

? 30o ? ;问: sin 12 2
?(

?
12

?

③ ? ? (? ? ? ) ? ? ;④

?
4

?? ?

?
2

?
4

??) ;

⑤ 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ? (

?
4

??) ? (

?
4

? ? ) ;等等

(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础,通常化切 为弦,变异名为同名。 (3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1”的代换变 形有:

1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? tan? cot? ? sin 90o ? tan45o
(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法。常用降幂 公式有: ; 。降幂并非绝对,有时需要升幂,如对无理式 1 ? cos? 常

用升幂化为有理式,常用升幂公式有: ; ; (5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。 如:

1 ? tan ? 1 ? tan ? ? __________ _____ ; ? __________ ____ ; 1 ? tan ? 1 ? tan ?

tan? ? tan ? ? __________ __ ; 1 ? tan? tan? ? __________ _; tan? ? tan ? ? __________ __ ; 1 ? tan? tan ? ? __________ _;
2 tan ? ?
; 1 ? tan ? ?
2

; ; ;

tan20o ? tan40o ? 3 tan20o tan40o ?
sin ? ? cos ? ?
= = ; 1 ? cos ? ?

a sin ? ? b cos ? ?
1 ? cos ? ?

; (其中 tan ? ? ;

; )

(6)三角函数式的化简运算通常从: “角、名、形、幂”四方面入手;
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基本规则是:见切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,特殊值与特 殊角的三角函数互化。 如: sin 50o (1 ? 3 tan10o ) ? ; 。 高中数学 必修 5 知识点 第一章 解三角形
? b c ? ? 2R sin ? sin C

tan ? ? cot ? ?

(一)解三角形: 1、正弦定理:在 ??? C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, ,则有 a ( R 为 ??? C 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式:① a ? 2 R sin ? , b ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C ; ② sin ? ?
sin ?

a b , sin ? ? , sin C ? c ;③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; 2R 2R 2R
2 2 2

3、三角形面积公式: S???C ? 1 bc sin ? ? 1 ab sin C ? 1 ac sin ? .
2 2 2 2 2 2 4、余弦定理:在 ??? C 中,有 a ? b ? c ? 2bc cos ? ,推论: cos ? ? b ? c ? a 2bc

第二章 1、数列中 an 与 S n 之间的关系:

数列

, (n ? 1) ?S1 注意通项能否合并。 an ? ? ?Sn ? Sn?1 ,(n ? 2).
2、等差数列: ?定义: 如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它的前一项的差等于同一个常数, 即 a n - a n ?1 =d , (n≥2, n∈N ? ) , 那么这个数列就叫做等差数列。 ?等差中项:若三数 a、A、b 成等差数列 ? A ? ?通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d ? am ? (n ? m)d 或 an ? pn ? q ( p 、q是常数). ?前 n 项和公式:

a?b 2

Sn ? na1 ?

n ? n ? 1? n ? a1 ? an ? d? 2 2

?常用性质: ①若 m ? n ? p ? q???m, n, p, q ? N ? ? ,则 am ? an ? a p ? aq ; ②下标为等差数列的项 ?ak , ak ?m , ak ?2m ,?? ,仍组成等差数列; ③数列 ??an ? b?( ? , b 为常数)仍为等差数列; ④若 {an } 、 {bn }是等差数列,则 {kan } 、 {kan ? pbn } ( k 、 p 是非零常数)、 {a p?nq }( p, q ? N ) 、 ,?也成等差
*

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数列。 ⑤单调性: ?an ? 的公差为 d ,则: ⅰ) d ? 0 ? ?an ? 为递增数列; ⅱ) d ? 0 ? ?an ? 为递减数列; ⅲ) d ? 0 ? ?an ? 为常数列; ⑥数列{ a n }为等差数列 ? an ? pn ? q (p,q 是常数) ⑦若等差数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,则 Sk 、 S2k ? Sk 、 S3k ? S 2 k ? 是等差数列。 3、等比数列 ?定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列。

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