首页 考试资料幻灯片工程技术公务员考试小学教学中学教学大学教学外语资料
高中数学知识点总结(最全版)96


G、 b 成等比数列 ? G ? ab, ( ab 同号) ?等比中项:若三数 a、 。反之不一定成立。
2

?通项公式: an ? a1qn?1 ? am qn?m ?前 n 项和公式: Sn ? ?常用性质 ①若 m ? n ? p ? q???m, n, p, q ? N ? ? ,则 am ? an ? a p ? aq ; ② ak , ak ?m , ak ?2m ,?为等比数列,公比为 q (下标成等差数列,则对应的项成等比数列) ③数列 ??an ?( ? 为不等于零的常数) 仍是公比为 q 的等比数列; 正项等比数列 ?an ? ; 则 ?lg an ? 是公差为 lg q 的 等差数列;
2 ④若 ?an ? 是等比数列,则 ?can ?,an ,?

a1 ?1 ? q n ? 1? q

?

a1 ? an q 1? q

k

? ?

?1? ?, ? an ?
2 r

1 ,q . ?a ? (r ? Z ) 是等比数列,公比依次是 q,q , q
r n

⑤单调性:

a1 ? 0, q ? 1或a1 ? 0,0 ? q ? 1 ? ?an ? 为递增数列; a1 ? 0,0 ? q ? 1或a1 ? 0, q ? 1 ? ?an ? 为递减数列;

q ? 1 ? ?an ? 为常数列; q ? 0 ? ?an ? 为摆动数列;
⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。 ⑦若等比数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,则 Sk 、 S2k ? Sk 、 S3k ? S 2 k ? 是等比数列. 4、非等差、等比数列通项公式的求法 类型Ⅰ 观察法:已知数列前若干项,求该数列的通项时,一般对所给的项观察分析,寻找规律,从而根 据规律写出此数列的一个通项。 类型Ⅱ 公式法:若已知数列的前 n 项和 Sn 与 an 的关系,求数列 ?an ? 的通项 an 可用公式
第 - 46 - 页 共 102 页

, (n ? 1) ?S1 构造两式作差求解。 an ? ? ?Sn ? Sn?1 ,(n ? 2)
用此公式时要注意结论有两种可能,一种是“一分为二” ,即分段式;另一种是“合二为一” ,即 a1 和 an 合 为一个表达, (要先分 n ? 1 和 n ? 2 两种情况分别进行运算,然后验证能否统一) 。 类型Ⅲ 累加法:

形如 an?1

?an ? an ?1 ? f (n ? 1) ?a ? a ? f (n ? 2) ? n ?1 n ? 2 f ( n ) 型的递推数列(其中 是关于 的函数)可 构造: ? an ? f (n) n ? ?... ? ?a2 ? a1 ? f (1)

将上述 n ? 1 个式子两边分别相加,可得: an ? f (n ?1) ? f (n ? 2) ? ... f (2) ? f (1) ? a1,(n ? 2)
①若 f ( n) 是关于 n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; ② 若 f ( n) 是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; ③若 f ( n) 是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和; ④若 f ( n) 是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和. 类型Ⅳ 累乘法:

? an ? a ? f (n ? 1) ? n ?1 ? an ?1 ? f (n ? 2) ? an?1 ? ? 形如 an?1 ? an ? f (n) ? ? f (n) ? 型的递推数列(其中 f (n) 是关于 n 的函数)可构造: ? an ? 2 ? an ? ?... ? ? a2 ? a ? f (1) ? 1

将上述 n ? 1 个式子两边分别相乘,可得: an ? f (n ?1) ? f (n ? 2) ? ... ? f (2) f (1)a1,(n ? 2)
有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这种方法求解。 类型Ⅴ 构造数列法:

㈠形如 an?1 ? pan ? q (其中 p, q 均为常数且 p ? 0 )型的递推式: (1)若 p ? 1 时,数列{ a n }为等差数列; (2)若 q ? 0 时,数列{ a n }为等比数列; (3)若 p ? 1 且 q ? 0 时,数列{ a n }为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如 下两种:

法一:设 an?1 ? ? ? p(an ? ? ) ,展开移项整理得 an?1 ? pan ? ( p ?1)? ,与题设 an?1 ? pan ? q 比较系数(待定

第 - 47 - 页 共 102 页

系数法) 得? ?

? q q q q q q ? , ( p ? 0) ? an?1 ? ? p(an ? ) ? an ? ? p(an ?1 ? ) ,即 ?a n ? ?构 p ?1 p ?1 p ?1 p ?1 p ?1 p ? 1? ?

成以 a1 ?

? q q ? 为首项,以 p 为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出 ?a n ? ? 的通项整理可得 p ?1 p ? 1 ? ?

an .
法二: 由 an?1 ? pan ? q 得 an ? pan?1 ? q(n ? 2) 两式相减并整理得

首项,以 p 为公比的等比数列.求出 ?an?1 ? an ? 的通项再转化为类型Ⅲ(累加法)便可求出 an . ㈡形如 an?1 ? pan ? f (n) ( p ? 1) 型的递推式: ?当 f ( n) 为一次函数类型(即等差数列)时:

an ?1 ? an ? p, 即 ?an?1 ? an ? 构成以 a2 ? a1 为 an ? an?1

B 的值,转化成以 a1 ? A ? B 为首 法一:设 an ? An ? B ? p ?an?1 ? A(n ?1) ? B? ,通过待定系数法确定 A 、
项,以 p 为公比的等比数列 ?an ? An ? B? ,再利用等比数列的通项公式求出 ?an ? An ? B? 的通项整理可得 an .

法二:当 f ( n) 的公差为 d 时,由递推式得: an?1 ? pan ? f (n) , an ? pan?1 ? f (n ?1) 两式相减得:

an?1 ? an ? p(an ? an?1 ) ? d ,令 bn ? an?1 ? an 得: bn ? pbn?1 ? d 转化为类型Ⅴ㈠求出 bn ,再用类型Ⅲ(累加
法)便可求出 an . ?当 f ( n) 为指数函数类型(即等比数列)时:

法一: 设 an ? ? f (n) ? p ?an?1 ? ? f (n ?1)? , 通过待定系数法确定 ? 的值, 转化成以 a1 ? ? f (1) 为首项, 以p
为公比的等比数列 ?an ? ? f (n)? ,再利用等比数列的通项公式求出 ?an ? ? f (n)? 的通项整理可得 an .

法二:当 f ( n) 的公比为 q 时,由递推式得: an?1 ? pan ? f (n) ——①, an ? pan?1 ? f (n ?1) ,两边同时乘
以 q 得 an q ? pqan?1 ? qf (n ?1) ——②,由①②两式相减得 an?1 ? an q ? p(an ? qan?1 ) ,即 转化为类型Ⅴ㈠便可求出 an .

an ?1 ? qan ? p ,在 an ? qan ?1

法三:递推公式为 an?1 ? pan ? q n (其中 p,q 均为常数)或 an?1 ? pan ? rqn (其中 p,q, r 均为常数)
时,要先在原递推公式两边同时除以 q
n ?1

,得:

a n?1 p a n 1 a ? ? n ? ,引入辅助数列 ?bn ?(其中 bn ? n ) ,得: n ?1 q q q q qn

bn?1 ?

p 1 bn ? 再应用类型Ⅴ㈠的方法解决。 q q
第 - 48 - 页 共 102 页

?当 f ( n) 为任意数列时,可用通法: 在 an?1 ? pan ? f (n) 两边同时除以 pn?1 可得到 化为类型Ⅲ(累加法) ,求出 bn 之后得 an ? pnbn . 类型Ⅵ 对数变换法:

an ?1 an f (n) a f ( n) ? n ? n ?1 ,令 n ? bn ,则 bn ?1 ? bn ? n ?1 ,在转 n ?1 n p p p p p

形如 an?1 ? paq ( p ? 0, an ? 0) 型的递推式: 在原递推式 an?1 ? pa q 两边取对数得 lg an?1 ? q lg an ? lg p ,令 bn ? lg an 得: bn?1 ? qbn ? lg p ,化归为 。 an?1 ? pan ? q 型,求出 bn 之后得 an ? 10bn . (注意:底数不一定要取 10,可根据题意选择) 类型Ⅶ 倒数变换法:

1234567891011121314151617181920212223242526272829

 


 

  【Top

最新搜索

 

最全高中数学选修1-1知识点总结归纳(经典版)_数学_高中教育_教育专区。高中数学 点击免费领取更多资料 www.daigemath.com 高中数学 选修 1-1 知识点总结归纳 (...

最全高中数学选修知识点总结归纳(经典版) - 高中数学 点击免费领取更多资料 www.daigemath.com 最全高中数学 选修知识点总结归纳 (经典版) 第 1 页 高中数学 ...

最全初中数学知识点总结归纳(最新版) - 高中数学 点击免费领取更多资料 www.daigemath.com 初中数学 知识点总结归纳 (最新版) 高中数学 点击免费领取更多资料 ...

最详细的高中物理知识点总结(最全版) - 高中数学 点击免费领取更多资料 www.daigemath.com 高中物理知识点总结 (经典版) 高中数学 点击免费领取更多资料 第一章...

最全高中生物知识点总结归纳(经典版) - 高中数学 点击免费领取更多资料 www.daigemath.com 高中生物知识点总结 (经典版) 高中数学 点击免费领取更多资料 www...

高中数学 必修2 最全知识点梳理(完整版) - 1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征知识点梳理 【重点】 提高学生的观察能力;培养学生的空间想象能力和抽象括能力。...

高中数学知识点总结(最全版)(精品) - 数学知识点总结 引言 1.课程内容: 必修课程由 5 个模块组成: 必修 1:集合、函数概念与基本初等函数(指、对、幂函数) ...

高中数学知识点总结(最全版) - 高中数学 必修 1 知识点 第一章 函数概念 (1)函数的概念 ①设 A 、 B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则 f ,对于...

最全版高中文科数学知识点总结 - 最全版高中文科数学知识点总结 必修 1 数学 集合: 1、集合的定义:一般地,某些指定的对象集在一起就成为一个集合,也简称集。...

高中数学必修五知识点整理【经典最全版】_数学_高中教育_教育专区。此为人教版高中数学必修五最全知识点,由金字塔高中部老师整理总结而成 ...