首页 考试资料幻灯片工程技术公务员考试小学教学中学教学大学教学外语资料
高中数学知识点总结(最全版)96


形如 an?1 ? an ? pan?1an ( p 为常数且 p ? 0 )的递推式:两边同除于 an ?1an ,转化为 为 an?1 ? pan ? q 型求出 1 的表达式,再求 an ;
an

1 1 ? ? p 形式,化归 an an ?1

还有形如 an ?1 ? man 的递推式,也可采用取倒数方法转化成 1 ? m 1 ? m 形式,化归为 an?1 ? pan ? q 型求 an?1 q an p pan ? q 出 1 的表达式,再求 an .
an

类型Ⅷ

形如 an?2 ? pan?1 ? qan 型的递推式:

用待定系数法,化为特殊数列 {an ? an?1} 的形式求解。方法为:设 an?2 ? kan?1 ? h(an?1 ? kan ) ,比较系数

k, 得 h ? k ? p,?hk ? q , 可解得 h 、 于是 {an?1 ? kan } 是公比为 h 的等比数列, 这样就化归为 an?1 ? pan ? q 型。
总之,求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解,对不能转化为以上方法求解的数列,可用归 纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 an .

5、非等差、等比数列前 n 项和公式的求法 ?错位相减法 ①若数列 ?an ? 为等差数列,数列 ?bn ? 为等比数列,则数列 ?an ? bn ? 的求和就要采用此法. ②将数列 ?an ? bn ? 的每一项分别乘以 ?bn ? 的公比,然后在错位相减,进而可得到数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和.

此法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法.
?裂项相消法

第 - 49 - 页 共 102 页

一般地,当数列的通项 an ? 裂项相消法求和. 可用待定系数法进行裂项: 设 an ?

c 时,往往可将 an 变成两项的差,采用 (a, b1, b2 , c为常数) (an ? b1 )(an ? b 2 )

?
an ? b1

?

?
an ? b2

,通分整理后与原式相比较,根据对应项系数相等得 ? ?

c ,从而可得 b2 ? b1

c c 1 1 = ( ? ). (an ? b1 )(an ? b 2 ) (b2 ? b1 ) an ? b1 an ? b 2
常见的拆项公式有: ①

1 1 1 ? ? ; n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 ? ( ? ); (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 ? ( a ? b ); a ? b a ?b

m?1 m m ④ Cn ? Cn ?1 ? Cn ;

⑤ n ? n! ? (n ? 1)!? n!.

?分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的 数列,然后分别求和,再将其合并即可.一般分两步:①找通向项公式②由通项公式确定如何分组. ?倒序相加法 如果一个数列 ?an ? , 与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和, 则可用把正着写与倒着写的两个和式相加, 就得到了一个常数列的和,这种求和方法称为倒序相加法。特征: a1 ? an ? a2 ? an?1 ? ... ?记住常见数列的前 n 项和: ① 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ?

n(n ? 1) ; 2
2

② 1 ? 3 ? 5 ? ... ? (2n ?1) ? n ; ③ 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ?
2 2 2 2

1 n(n ? 1)(2n ? 1). 6
第三章 不等式

§3.1、不等关系与不等式 1、不等式的基本性质 ①(对称性) a ? b ? b ? a
第 - 50 - 页 共 102 页

②(传递性) a ? b, b ? c ? a ? c ③(可加性) a ? b ? a ? c ? b ? c (同向可加性) a ? b ,c ? d ? a ? c ? b ? d (异向可减性) a ? b ,c ? d ? a ? c ? b ? d ④(可积性) a ? b ,c ? 0 ? ac ? bc a ? b ,c ? 0 ? ac ? bc ⑤(同向正数可乘性) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd
(异向正数可除性) a ? b ? 0, 0 ? c ? d ? a ? b c d

⑥(平方法则) a ? b ? 0 ? an ? bn (n ? N , 且n ? 1) ⑦(开方法则) a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? N , 且n ? 1) ⑧(倒数法则) a ? b ? 0 ? 2、几个重要不等式
2 2 ① a ? b ? 2ab ? a,b ? R ? ,(当且仅当 a ? b 时取 " ? " 号).

1 1 1 1 ? ;a ? b ? 0 ? ? a b a b

变形公式: ab ?

a 2 ? b2 . 2

②(基本不等式)

a?b ? ab 2

? a,b ? R ? ,(当且仅当 a ? b 时取到等号).
?

变形公式:

a ? b ? 2 ab

? a ?b ? ab ? ? ? . ? 2 ?

2

用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大) ,要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.

③(三个正数的算术—几何平均不等式) ④ a ? b ? c ? ab ? bc ? ca ? a,b ? R ?
2 2 2

a?b?c 3 ? abc (a、b、c ? R? ) (当且仅当 a ? b ? c 时取到等号). 3

(当且仅当 a ? b ? c 时取到等号). ⑤ a ? b ? c ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0)
3 3 3

(当且仅当 a ? b ? c 时取到等号).

b a ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) a b b a 若ab? 0, 则 ? ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) a b b b?m a?n a ?1? ? ⑦ ? a a?m b?n b
⑥ 若ab ? 0, 则 其中 (a ? b ? 0,m ? 0,n ? 0) 规律:小于 1 同加则变大,大于 1 同加则变小. ⑧ 当a ? 0时, x ? a ? x2 ? a2 ? x ? ?a或x ? a;

第 - 51 - 页 共 102 页

x ? a ? x2 ? a2 ? ?a ? x ? a.
⑨绝对值三角不等式 a ? b ? a ? b ? a ? b .

3、几个著名不等式

2 a?b a 2 ? b2 ①平均不等式: ?1 ? ab ? ? a ? b?1 2 2

? a,b ? R ? ,(当且仅当 a ? b 时取 " ? " 号).
?

(即调和平均 ? 几何平均 ? 算术平均 ? 平方平均).
变形公式:
2 2 ? a ?b ? a ?b ab ? ? ? ; ? 2 ? 2 ? 2

( a ? b) 2 a ?b ? . 2
2 2

②幂平均不等式:

a12 ? a2 2 ? ... ? an 2 ?

1 (a1 ? a2 ? ... ? an ) 2 . n

③二维形式的三角不等式:

x12 ? y12 ? x2 2 ? y2 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2

( x1 , y1 , x2 , y2 ? R).
④二维形式的柯西不等式: ⑤三维形式的柯西不等式:

(a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 (a, b, c, d ? R). 当且仅当 ad ? bc 时,等号成立.

(a12 ? a22 ? a32 )(b12 ? b22 ? b32 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )2 .
⑥一般形式的柯西不等式: (a12 ? a22 ? ... ? an2 )(b12 ? b22 ? ... ? bn2 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn )2 . ⑦向量形式的柯西不等式: 设 ? , ? 是两个向量,则 ? ? ? ? ? ? , 当且仅当 ? 是零向量,或存在实数 k ,使 ? ? k ? 时,等号成立. ⑧排序不等式(排序原理) :设 a1 ? a2 ? ... ? an , b1 ? b2 ? ... ? bn 为两组实数. c1 , c2 ,..., cn 是 b1 , b2 ,..., bn 的任一排 列,则 a1bn ? a2bn?1 ? ... ? anb1 ? a1c1 ? a2c2 ? ... ? ancn ? a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn . (反序和 ? 乱序和 ? 顺序和) 当且仅当 a1 ? a2 ? ... ? an 或 b1 ? b2 ? ... ? bn 时,反序和等于顺序和. ⑨琴生不等式:(特例:凸函数、凹函数) 若定义在某区间上的函数 f ( x ) ,对于定义域中任意两点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ), 有

1234567891011121314151617181920212223242526272829

 


 

  【Top

最新搜索

 

最全高中数学选修1-1知识点总结归纳(经典版)_数学_高中教育_教育专区。高中数学 点击免费领取更多资料 www.daigemath.com 高中数学 选修 1-1 知识点总结归纳 (...

最全高中数学选修知识点总结归纳(经典版) - 高中数学 点击免费领取更多资料 www.daigemath.com 最全高中数学 选修知识点总结归纳 (经典版) 第 1 页 高中数学 ...

最全初中数学知识点总结归纳(最新版) - 高中数学 点击免费领取更多资料 www.daigemath.com 初中数学 知识点总结归纳 (最新版) 高中数学 点击免费领取更多资料 ...

最详细的高中物理知识点总结(最全版) - 高中数学 点击免费领取更多资料 www.daigemath.com 高中物理知识点总结 (经典版) 高中数学 点击免费领取更多资料 第一章...

最全高中生物知识点总结归纳(经典版) - 高中数学 点击免费领取更多资料 www.daigemath.com 高中生物知识点总结 (经典版) 高中数学 点击免费领取更多资料 www...

高中数学 必修2 最全知识点梳理(完整版) - 1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征知识点梳理 【重点】 提高学生的观察能力;培养学生的空间想象能力和抽象括能力。...

高中数学知识点总结(最全版)(精品) - 数学知识点总结 引言 1.课程内容: 必修课程由 5 个模块组成: 必修 1:集合、函数概念与基本初等函数(指、对、幂函数) ...

高中数学知识点总结(最全版) - 高中数学 必修 1 知识点 第一章 函数概念 (1)函数的概念 ①设 A 、 B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则 f ,对于...

最全版高中文科数学知识点总结 - 最全版高中文科数学知识点总结 必修 1 数学 集合: 1、集合的定义:一般地,某些指定的对象集在一起就成为一个集合,也简称集。...

高中数学必修五知识点整理【经典最全版】_数学_高中教育_教育专区。此为人教版高中数学必修五最全知识点,由金字塔高中部老师整理总结而成 ...