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高中数学知识点总结(最全版)96


到两定点 F1 、 F2 的距离之差的绝对值等于常数 2a ,即 | MF1 | ? | MF2 | ? 2a ( 0 ? 2a ?| F1F2 | ) 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数 e ,即

MF ? e (e ? 1) d
y ? ?a 或 y ? a , x ? R

x ? ?a 或 x ? a , y ? R

?1 ? ?a,0? 、 ?2 ? a,0?

?1 ? 0, ?a ? 、 ?2 ? 0, a ?

实轴的长 ? 2a 虚轴的长 ? 2b 关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称

F1 ? ?c,0? 、 F2 ? c,0?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1F2 ? 2c (c2 ? a2 ? b2 )
e?
a2 c
b x a

离心率

c c2 a 2 ? b2 b2 ? ? ? 1 ? a a2 a2 a2

(e ? 1)
a2 c
a x b

准线方程

x??
y??

y??
y??

渐近线方程

焦半径

?左焦: MF1 ? ex0 ? a ? M 在右支 ? MF2 ? ex0 ? a ? ?右焦:

?左焦: MF1 ? ey0 ? a ? M 在上支 ? MF2 ? ey0 ? a ? ?右焦:

M ( x0, y0 )

? MF1 ? ?ex0 ? a ?左焦: M 在左支 ? MF2 ? ?ex0 ? a ? ?右焦:
S ?MF1F2 ? b 2 cot

? MF1 ? ?ey0 ? a ?左焦: M 在下支 ? MF2 ? ?ey0 ? a ? ?右焦:

焦点三角形面积

?
2

(? ? ?F1MF2 )

通径

过焦点且垂直于长轴的弦叫通径: HH ? ?
第 - 59 - 页 共 102 页

b2 a

7、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。 8、设 ? 是双曲线上任一点,点 ? 到 F1 对应准线的距离为 d 1 ,点 ? 到 F2 对应准线的距离为 d2 ,则 ?F1 ? ?F2 ? e 。

d1

d2

9、平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点 F 称为抛物线的焦点,定直线 l 称为抛物线 的准线. 10、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 ? 、 ? 两点的线段 ?? ,称为抛物线的“通径” ,即 ?? ? 2 p . 11、焦半径公式: 若点 若点
? ? x0 , y0 ?

在抛物线

y2 ? 2 px ? p ? 0?

上,焦点为 F ,则

?F ? x0 ?

p 2; 、
p 2;

? ? x0 , y0 ? ? ? x0 , y0 ? ? ? x0 , y0 ?

在抛物线

y2 ? ?2 px ? p ? 0?

上,焦点为 F ,则 上,焦点为 F ,则 上,焦点为 F ,则

?F ? ? x0 ?

若点 若点

在抛物线 在抛物线

x2 ? 2 py ? p ? 0?
x2 ? ?2 py ? p ? 0?

?F ? y0 ?
?F ? ? y0 ?

p 2;
p 2.

12、抛物线的几何性质:

第 - 60 - 页 共 102 页

关于抛物线焦点弦的几个结论:

图形

y 2 ? 2 px
标准方程

y 2 ? ?2 px

x 2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

定义 顶点 离心率 对称轴 范围

与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线 l 上)

? 0, 0 ?
e ?1

x轴
x?0 x?0

y轴
y?0 y?0

焦点

? p ? F ? ,0? ?2 ?
x?? p 2

? p ? F ? ? ,0? ? 2 ?
x? p 2

p? ? F ? 0, ? 2? ?
y?? p 2

p? ? F ? 0, ? ? 2? ?
y? p 2

准线方程 焦半径

M ( x0, y0 )
通径 焦点弦长 公式 参数 p 的几 何意义

MF ? x0 ?

p 2

MF ? ? x0 ?

p 2

MF ? y0 ?

p 2

MF ? ? y0 ?

p 2

过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径: HH ? ? 2 p

AB ? x1 ? x2 ? p
参数 p 表示焦点到准线的距离, p 越大,开口越阔

设 AB 为过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦点的弦, A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,直线 AB 的倾斜角为 ? ,则 ? x1 x2 ?

p2 , y1 y2 ? ? p 2 ; 4

? AB ?

2p ; sin 2 ?

? 以 AB 为直径的圆与准线相切;

B 在准线上射影的张角为 ? 焦点 F 对 A 、
?

? ; 2

1 1 2 ? ? . | FA | | FB | P

第三章:
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空间向量知识点:
1、空间向量的概念: (1)在空间,具有大小和方向的量称为空间向量. (2)向量可用一条有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向. ??? ? ? (3)向量 ?? 的大小称为向量的模(或长度) ,记作 ??? ?? . (4)模(或长度)为 0 的向量称为零向量;模为 1 的向量称为单位向量. (5)与向量 a 长度相等且方向相反的向量称为 a 的相反向量,记作 ? a . (6)方向相同且模相等的向量称为相等向量. 2、空间向量的加法和减法: (1) 求两个向量和的运算称为向量的加法, 它遵循平行四边形法则. 即: 在空间以同一点 ? 为起点的两个已知向量 a 、b 为邻边作平行四边形 ??C ? , 则以 ? 起点的对角线 ?C 就是 a 与 b 的和,这种求向量和的方法,称为向量加法的平行四边形法则.
? ? ? (2) 求两个向量差的运算称为向量的减法, 它遵循三角形法则. 即: 在空间任取一点 ? , 作? ?? a ,

?

?

?

?

?

????

?

?

??? ? ? ? ??? ? ? ?? ? b ,则 ?? ? a ? b .

? ? 3、实数 ? 与空间向量 a 的乘积 ? a 是一个向量,称为向量的数乘运算.当 ? ? 0 时, ? a 与 a 方向

?

?

相同;当 ? 的长度的

? ? ? ? ? ? ? 0 时, ? a 与 a 方向相反;当 ? ? 0 时, ? a 为零向量,记为 0 . ? a 的长度是 a
倍.

?

4、设 ? , ? 为实数, a , b 是空间任意两个向量,则数乘运算满足分配律及结合律. 分配律: ? a ? b ? ? a ? ?b ;结合律: ? ? ?a ? ? ? ?? ? a . 5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量称为共线向量或平行向量,并规定零向量与任何向量都共线. 6、向量共线的充要条件:对于空间任意两个向量 a , b b ? 0 , a // b 的充要条件是存在实数 ? ,使 a 7、平行于同一个平面的向量称为共面向量.

?

?

?? ?

?

?

?

?

?

?

? ?

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