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高中数学知识点总结(最全版)96


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? ? ?b .

8、 向量共面定理: 空间一点 ? 位于平面 ?? C 内的充要条件是存在有序实数对 x , y , 使? 或对空间任一定点 ? , ?? ? x?? ? y C ; 有 ?? ? ?? ? x?? ? y?C ;或若四点 ? , ? , ? , C 共面,则 ?? ? x?? ? y?? ? z?C ? x ? y ? z ? 1? .

? ? ? ?

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??? ?

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??? ?

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? ? ? ? ? ? ???? ? ??? ? ? 9、已知两个非零向量 a 和 b ,在空间任取一点 ? ,作 ?? ? a , ?? ? b ,则 ???? 称为向量 a , b 的夹角,记作 ? a , b ? .两
个向量夹角的取值范围是: ?a, b ? ??0, ? ? .

? ?

? ? 10、对于两个非零向量 a 和 b ,若 ? a , b ? ? ,则向量 a , b 互相垂直,记作 a
? 2

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? ?b .

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 11、已知两个非零向量 a 和 b ,则 a b cos? a , b ? 称为 a , b 的数量积,记作 a ? b .即 a ? b ? a b cos? a, b ? .零向量与任何向
量的数量积为 0 . 12、 a ? b 等于 a 的长度

? ?
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? a

与 b 在 a 的方向上的投影 b cos? a , b ? 的乘积.

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13 若 a , b 为非零向量, e 为单位向量,则有

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第 - 62 - 页 共 102 页

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? e ? a ? a ? e ? a cos?a, e? ; ? 2 ? a ? b ? a ? b ? 0 ;
? ? ?a ? 3? a ?b ? ? ? ? ? ?? b a ? ? ?2 ? 与b同向 ,a ?a ? a , a ? ? ? ? ? ? a b a与b反向 ? ?

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? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ; ? 5? a ? ? a ? a ; ? 4 ? cos? a ?b ? a b . ,b? ? ? ? a b

14 量数乘积的运算律:

?1? a ? b ? b ? a ;
?

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? ? ? ? 2? ? ?a ? ? b ? ? ? a ? b ? ? a ? ? ?b ? ;

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? ? ? ? ? ? 3? ? a ? b ??c ? a ?c ? b ?c . ? ?

15、空间向量基本定理:若三个向量 a , b , c 不共面,则对空间任一向量

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? ? ? ? ? p ,存在实数组 ?x, y, z? ,使得 p ? xa ? yb ? zc .

16、三个向量 a , b , c 不共面,则所有空间向量组成的集合是 p p ? xa ? yb ? zc , x, y, z ? R .这个集合可看作是由向量 a ,

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? ? ? ? ? ? ? ? 称为空间的一个基底, a b , c 生成的, ?a , b , c 称为基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. , b , c?
17、设 e1 , e2 , e3 为有公共起点 ? 的三个两两垂直的单位向量(称它们为单位正交基底) ,以 e1 , e2 , e3 的公共起点 ? 为原点, 分别以 e1 , e2 , e3 的方向为 x 轴,

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y 轴, z 轴的正方向建立空间直角坐标系 ?xyz .则对于空间任意一个向量 p ,一定可以把
??? ? ?
? ? ? ?? ? ??

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它平移,使它的起点与原点 ? 重合,得到向量 ?? ? p .存在有序实数组 ?x, y, z? ,使得 p ? xe1 ? ye2 ? ze3 .把 x , 向量

y , z 称作

?? ?? ? ?? ? ? ? p 在单位正交基底 e1 , e2 , e3 下的坐标,记作 p ? ? x, y, z ? .此时,向量 p 的坐标是点 ? 在空间直角坐标系 ?xyz 中的坐标

? x, y, z ? .
18、设 a ?

?

? x1, y1, z1 ? , b ? ? x2 , y2 , z2 ? ,则

?

(1) a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 , z1 ? z2 ? . (2) a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 , z1 ? z2 ? . (3) ?a ? ? ? x1 , ? y1 , ? z1 ? . (4) a ? b

?

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? x1x2 ? y1 y2 ? z1z2 .

(5)若 a 、 b 为非零向量,则 a ? b (6)若 b

?

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? ? ? a ? b ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? z1z2 ? 0 .

?

? ? ? ? ? ? 0 ,则 a // b ? a ? ?b ? x1 ? ? x2 , y1 ? ? y2 , z1 ? ? z2 .
? ? a ? a ? x12 ? y12 ? z12 .
? ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 x ?y ?z ? x ?y ?z
2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2

(7) a ?

?

a ?b ? ? (8) cos? a , b? ? ? ? ? a b

(9) ? ? x1 , y1 , z1 ? , ? ? ? x2 , y2 , z2 ? ,则 d ?? ? ?? ?

??? ?

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? ? ? z2 ? z1 ?
2 2

2

19、在空间中,取一定点 ? 作为基点,那么空间中任意一点 ? 的位置可以用向量 ?? 来表示.向量 ?? 称为点 ? 的位置向量. 第 - 63 - 页 共 102 页

??? ?

??? ?

20、空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个定点 ? 以及一个定方向确定.点 ? 是直线 l 上一点,向量 a 表示直线 l 的方向向 量,则对于直线 l 上的任意一点 ? ,有 ?? ? ta ,这样点 ? 和向量 a 不仅可以确定直线 l 的位置,还可以具体表示出直线 l 上的 任意一点. 21、空间中平面 ? 的位置可以由 ? 内的两条相交直线来确定.设这两条相交直线相交于点 ? ,它们的方向向量分别为 a ,b .? 为平面 ? 上任意一点,存在有序实数对

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??? ?

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? ? yb ,这样点 ? 与向量 a , b 就确定了平面 ? 的位置. ? x, y ? ,使得 ?? ? xa

??? ?

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22、直线 l 垂直 ? ,取直线 l 的方向向量 a ,则向量 a 称为平面 ? 的法向量. 23、若空间不重合两条直线 a , b 的方向向量分别为 a , b ,

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? ? ? ? ? ? ?a ? ?b ? ? ? R? , a ? b ? a ? b ? a ? b ? 0 . ? ? 24、若直线 a 的方向向量为 a ,平面 ? 的法向量为 n ,且 a ? ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则 a // ? ? a // ? ? a ? n ? a ? n ? 0 , a ? ? ? a ? ? ? a // n ? a ? ? n .
则 a // b ? a // b 25、若空间不重合的两个平面 ? , ? 的法向量分别为 a , b ,则 ? // ? ? a // b ? a ? ?b , ? ? ? ? a ? b ? a ? b ? 0 .

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