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高中数学知识点总结(最全版)96


M ( ? ,? ) .
极坐标 ( ? ,? ) 与 ( ? ,? ? 2k? )(k ? Z) 表示同一个点。极点 O 的坐标为 (0,? )(? ? R ) . 4.若 ? ? 0 ,则 ? ? ? 0 ,规定点 ( ? ? , ? ) 与点 ( ? ,? ) 关于极点对称,即 ( ? ? , ? ) 与 ( ? , ? ? ? ) 表示同一点。
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如果规定 ? ? 0,0 ? ? ? 2? ,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标 ( ? ,? ) 表示;同时,极坐标 ( ? ,? ) 表 示的点也是唯一确定的。 5.极坐标与直角坐标的互化:

? 2 ? x2 ? y2 ,
y ? ?sin? ,

x ? ?cos? , y tan? ? ( x ? 0) x

6。圆的极坐标方程: 在极坐标系中,以极点为圆心, r 为半径的圆的极坐标方程是

? ? r;

在极坐标系中,以 C (a,0) (a ? 0) 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? 2acos? ;

C ( a, ) 2 (a ? 0) 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? 2asin? ; 在极坐标系中,以
7.在极坐标系中, ? ? ? ( ? ? 0) 表示以极点为起点的一条射线; ? ? ? ( ? ? R ) 表示过极点的一条直线. 在极坐标系中,过点 A(a,0)(a ? 0) ,且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程是 ?cos? ? a .

?

? x ? f (t ), ? y ? g (t ), 并 8. 参数方程的概念: 在平面直角坐标系中, 如果曲线上任意一点的坐标 x, y 都是某个变数 t 的函数 ?
且对于 t 的每一个允许值,由这个方程所确定的点 M ( x, y ) 都在这条曲线上,那么这个方程就叫做这条曲线的参 数方程,联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数,简称参数。 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

? x ? a ? rcos? , (?为参数) ? 2 2 2 y ? b ? r sin ? . ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r ? 9.圆 的参数方程可表示为 .
? x ? acos? , x2 y2 (?为参数) ? ? ? 1 2 2 y ? b sin ? . ( a ? b ? 0 ) ? a b 椭圆 的参数方程可表示为 .

? x ? 2 px2 , (t为参数) ? 2 y ? 2 pt . y ? 2 px ? 抛物线 的参数方程可表示为 . ?x ? xo ? tcos? , ? y ? yo ? tsin? . t M ( x , y ) l O o o ? 经过点 ,倾斜角为 的直线 的参数方程可表示为 ? ( 为参数).
10.在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中,必须使 x, y 的 取值范围保持一致. 高中数学选修 4--5 知识点 1、不等式的基本性质
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①(对称性) a ? b ? b ? a ②(传递性) a ? b, b ? c ? a ? c ③(可加性) a ? b ? a ? c ? b ? c (同向可加性) a ? b ,c ? d ? a ? c ? b ? d (异向可减性) a ? b ,c ? d ? a ? c ? b ? d ④(可积性) a ? b ,c ? 0 ? ac ? bc
a ? b ,c ? 0 ? ac ? bc

⑤(同向正数可乘性) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd (异向正数可除性)
a ? b ? 0, 0 ? c ? d ? a b ? c d

n n ⑥(平方法则) a ? b ? 0 ? a ? b (n ? N , 且n ? 1)

n n ⑦(开方法则) a ? b ? 0 ? a ? b (n ? N , 且n ? 1)

a?b?0?
⑧(倒数法则) 2、几个重要不等式

1 1 1 1 ? ;a ? b ? 0 ? ? a b a b

a ? b ? 2ab ? a,b ? R ?
2 2

,(当且仅当 a ? b 时取 " ? " 号).
?

ab ?
变形公式:

a 2 ? b2 . 2

②(基本不等式)

a?b ? ab 2

? a,b ? R ? ,(当且仅当 a ? b 时取到等号).
2

变形公式:

a ? b? 2

ab

? a ?b ? ab ? ? ? . ? 2 ?

用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大) ,要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.

a?b?c 3 ? abc (a、b、c ? R? ) (当且仅当 a ? b ? c 时取到等号). 3 ③(三个正数的算术—几何平均不等式)

a2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ca ? a,b ? R ?

(当且仅当 a ? b ? c 时取到等号). ⑤ a ? b ? c ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0)
3 3 3

(当且仅当 a ? b ? c 时取到等号).

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b a 若ab ? 0, 则 ? ? 2 a b ⑥ (当仅当 a=b 时取等号) b a 若ab? 0, 则 ? ? ? 2 a b (当仅当 a=b 时取等号)

b b?m a?n a ? ?1? ? b?n b, ⑦a a?m (其中 a ? b ? 0,m ? 0,n ? 0)
规律:小于 1 同加则变大,大于 1 同加则变小. ⑧
当a ? 0时, x ? a ? x2 ? a2 ? x ? ?a或x ? a;

x ? a ? x2 ? a2 ? ?a ? x ? a.
⑨绝对值三角不等式 3、几个著名不等式

a ? b ? a ?b ? a ? b .

2 a?b a 2 ? b2 ? ab ? ? ?1 ?1 (a, b ? R? ,当且仅当 a ? b 时取 " ? " 号). 2 2 , ①平均不等式: a ? b
(即调和平均 ? 几何平均 ? 算术平均 ? 平方平均). 变形公式:
2 2 ? a ?b ? a ?b ( a ? b) 2 2 2 ab ? ? ? ; a ? b ? . ? 2 ? 2 ? 2 2

②幂平均不等式:

a12 ? a2 2 ? ... ? an 2 ?

1 (a1 ? a2 ? ... ? an ) 2 . n

③二维形式的三角不等式:

x12 ? y12 ? x2 2 ? y2 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ( x1 , y1 , x2 , y2 ? R).
④二维形式的柯西不等式:

(a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 (a, b, c, d ? R). 当且仅当 ad ? bc 时,等号成立.
⑤三维形式的柯西不等式:

(a12 ? a22 ? a32 )(b12 ? b22 ? b32 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )2 .
⑥一般形式的柯西不等式:

(a12 ? a22 ? ... ? an2 )(b12 ? b22 ? ... ? bn2 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn )2 .
⑦向量形式的柯西不等式:

? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? , ? , ? 设 是两个向量,则 当且仅当 ? 是零向量,或存在实数 k ,使 ? ? k ? 时,等号成立.
⑧排序不等式(排序原理) : 设

a1 ? a2 ? ... ? an , b1 ? b2 ? ... ? bn 为 两 组 实 数 . c1 , c2 ,..., cn 是 b1 , b2 ,..., bn 的 任 一 排 列 , 则
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a1bn ? a2bn?1 ? ... ? anb1 ? a1c1 ? a2c2 ? ... ? ancn ? a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn . (反序和 ? 乱序和 ? 顺序和) ,当且仅当 a1 ? a2 ? ... ? an 或 b1 ? b2 ? ... ? bn 时,反序和等于顺序和.
⑨琴生不等式:(特例:凸函数、凹函数) 若定义在某区间上的函数 f ( x ) ,对于定义域中任意两点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ), 有
f( x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 或 2 2 f( x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? . 2 2 则称 f(x)为凸(或凹)函数.

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