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高中数学知识点总结(最全版)96


y y ?b z? ; x或 x?a
x2 ? y 2 ;

2 2 z? ③“距离”型: z ? x ? y 或

2 2 z ? ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 或 z ? ( x ? a) ? ( y ? b) .

在求该“三型”的目标函数的最值时,可结合线性规划与代数式的几何意义求解,从而使问题简单化.

附:高中数学常用公式及常用结论
1. 元素与集合的关系 x ? A ? x ? CU A , x ? CU A ? x ? A . 2.德摩根公式

CU ( A ? B) ? CU A ? CU B; CU ( A ? B) ? CU A ? CU B .
3.包含关系

A ? B ? A ? A ? B ? B ? A ? B ? CU B ? CU A

? A ? CU B ? ? ? CU A ? B ? R
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4.容斥原理

card ( A ? B) ? cardA ? cardB ? card ( A ? B) card ( A ? B ? C ) ? cardA ? cardB ? cardC ? card ( A ? B) ? card ( A ? B) ? card ( B ? C ) ? card (C ? A) ? card ( A ? B ? C ) . n n n 5.集合 {a1 , a2 ,?, an } 的子集个数共有 2 个;真子集有 2 –1 个;非空子集有 2 –1 个;非空的真子集
有 2 –2 个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ; (2)顶点式 f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0) ; (3)零点式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) . 7.解连不等式 N ? f ( x) ? M 常有以下转化形式
n

N ? f ( x) ? M ? [ f ( x) ? M ][ f ( x) ? N ] ? 0 M ?N M ?N f ( x) ? N |? ?0 ? | f ( x) ? ? 2 2 M ? f ( x) 1 1 ? . ? f ( x) ? N M ? N 8.方程 f ( x) ? 0 在 (k1 , k 2 ) 上有且只有一个实根,与 f (k1 ) f (k 2 ) ? 0 不等价,前者是后者的一个必要而不是
充分条件 . 特别地 , 方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有且只有一个实根在 (k1 , k 2 ) 内 , 等价于 f (k1 ) f (k 2 ) ? 0 , 或

f (k1 ) ? 0 且 k1 ? ?

k ? k2 k ? k2 b b ? 1 ?? ? k2 . ,或 f (k 2 ) ? 0 且 1 2a 2 2 2a
b 处及区间的两端点处取得,具 2a

9.闭区间上的二次函数的最值
2 二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 ? p, q ? 上的最值只能在 x ? ?

体如下: (1)当 a>0 时,若 x ? ?

b b ? ? p, q ?,则 f ( x) min ? f (? ), f ( x) max ? max ? f ( p), f (q)? ; 2a 2a

b ? ? p, q ?, f ( x)max ?max ? f ( p), f (q)? , f ( x)min ?min ? f ( p), f (q)? . 2a b b ? ? p, q ? , 则 f ( x) (2) 当 a<0 时 , 若 x ? ? ? mi nf p ( )f, ? q, ( 若 ) x ? ? ? ? p, q ? , 则 ? mi n 2a 2a , f ( x) ? ma ( )f, ? q ( f) ( x)min ? min ? f ( p), f (q)? . ?x f p ma x x??
10.一元二次方程的实根分布 依据:若 f (m) f (n) ? 0 ,则方程 f ( x) ? 0 在区间 (m, n) 内至少有一个实根 . 设 f ( x) ? x2 ? px ? q ,则

? p 2 ? 4q ? 0 ? (1)方程 f ( x) ? 0 在区间 (m,??) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或 ? p ; ? ? m ? ? 2 ? f ( m) ? 0 ? f ( n) ? 0 ? ? f ( m) ? 0 ? ( 2 )方程 f ( x) ? 0 在区间 (m, n) 内有根的充要条件为 f (m) f (n) ? 0 或 ? p 2 ? 4q ? 0 或 ? 或 ?af (n) ? 0 ? ?m ? ? p ? n ? ? 2 ? f (n) ? 0 ; ? ?af (m) ? 0
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? p 2 ? 4q ? 0 ? (3)方程 f ( x) ? 0 在区间 ( ??, n) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或 ? p . ? ? m ? ? 2
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1) 在给定区间 (??,??) 的子区间 L (形如 ?? , ? ? , ?? ?, ? ? , ?? ,??? 不同)上含参数的二次不等式

f ( x, t ) ? 0 ( t 为参数)恒成立的充要条件是 f ( x, t )min ? 0( x ? L) . (2) 在给定区间 (??,??) 的子区间上含参数的二次不等式 f ( x, t ) ? 0( t 为参数 ) 恒成立的充要条件是 f ( x, t )man ? 0( x ? L) .

?a ? 0 ?a ? 0 ? (3) f ( x) ? ax ? bx ? c ? 0 恒成立的充要条件是 ?b ? 0 或 ? 2 . ?c ? 0 ?b ? 4ac ? 0 ?
4 2

12.真值表 p q 非p p或q p且q 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 13.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 是 不是 至少有一个 都是 不都是 至多有一个 大于 不大于 至少有 n 个 小于 不小于 至多有 n 个 对所有 x , 存在某 x , 成立 不成立 p或q 对任何 x , 不成立 存在某 x , 成立

反设词 一个也没有 至少有两个 至多有( n ? 1 )个 至少有( n ? 1 )个

?p 且 ?q ?p 或 ?q

p且q

14.四种命题的相互关系 原命题 若p则q 互 互 否 否 否命题 若非p则非q 互逆 为 逆 为 逆 否 逆否命题 若非q则非p 互逆 互 互 否 逆命题 若q则p

15.充要条件 (1)充分条件:若 p ? q ,则 p 是 q 充分条件. (2)必要条件:若 q ? p ,则 p 是 q 必要条件. (3)充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 16.函数的单调性
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(1)设 x1 ? x2 ? ?a, b?, x1 ? x2 那么

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b?上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上是减函数. ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ? x1 ? x2 (2)设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导,如果 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为增函数;如果 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为减

( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ?

函数. 17. 如果函数 f ( x) 和 g ( x) 都是减函数 , 则在公共定义域内 , 和函数 f ( x) ? g ( x) 也是减函数 ; 如果函数

y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数 y ? f [ g ( x)] 是增函数.
18.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那 么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数. 19. 若 函 数 y ? f ( x) 是 偶 函 数 , 则 f ( x ? a) ? f (? x ? a) ; 若 函 数 y ? f ( x ? a) 是 偶 函 数 , 则

f ( x ? a) ? f ( ? x ? a) .
20. 对于函数 y ? f ( x) ( x ? R ), f ( x ? a) ? f (b ? x) 恒成立 ,则函数 f ( x) 的对称轴是函数 x ? 个函数 y ? f ( x ? a) 与 y ? f (b ? x) 的图象关于直线 x ?

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