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高中数学知识点总结(最全版)96


a?b 对称. 2 a 21. 若 f ( x) ? ? f (? x ? a) , 则 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 关 于 点 ( ,0 ) 对 称 ; 若 f ( x) ? ? f ( x ? a) , 则 函 数 2 y ? f ( x) 为周期为 2 a 的周期函数.
22.多项式函数 P( x) ? an xn ? an?1xn?1 ? ?? a0 的奇偶性 多项式函数 P( x) 是奇函数 ? P( x) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 P( x) 是偶函数 ? P( x) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数 y ? f ( x) 的图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x)

a?b ;两 2

? f (2a ? x) ? f ( x) .
(2)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ?

? f (a ? b ? mx) ? f (mx) .

a?b 对称 ? f (a ? mx) ? f (b ? mx ) 2

24.两个函数图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴)对称. (2)函数 y ? f (mx ? a) 与函数 y ? f (b ? mx) 的图象关于直线 x ? (3)函数 y ? f ( x) 和 y ? f
?1

a?b 对称. 2m

( x) 的图象关于直线 y=x 对称. 25. 若将函数 y ? f ( x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y ? f ( x ? a) ? b 的图象;若将曲线 f ( x, y) ? 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线 f ( x ? a, y ? b) ? 0 的图象.
26.互为反函数的两个函数的关系

f (a) ? b ? f ?1 (b) ? a .
27. 若函数 y ? f (kx ? b) 存在反函数, 则其反函数为 y ?

1 [f k

?1

( x ) ? b] , 并不是 y ? [ f

?1

(kx ? b) ,而函数

y ? [ f ?1 (kx ? b) 是 y ?

1 [ f ( x ) ? b] 的反函数. k

28.几个常见的函数方程 (1)正比例函数 f ( x) ? cx , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y), f (1) ? c .
x (2)指数函数 f ( x) ? a , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y), f (1) ? a ? 0 .

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(3)对数函数 f ( x) ? loga x , f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), f (a) ? 1(a ? 0, a ? 1) . (4)幂函数 f ( x) ? x? , f ( xy) ? f ( x) f ( y), f ' (1) ? ? . (5)余弦函数 f ( x) ? cos x ,正弦函数 g ( x) ? sin x , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ? g ( x) g ( y) ,

f (0) ? 1, lim
x ?0

g ( x) ?1. x

29.几个函数方程的周期(约定 a>0) (1) f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f ( x ) 的周期 T=a; (2) f ( x) ? f ( x ? a) ? 0 ,

1 ( f ( x) ? 0) , f ( x) 1 或 f ( x ? a) ? ? ( f ( x) ? 0) , f ( x) 1 2 或 ? f ( x) ? f ( x) ? f ( x ? a ), ( f ( x) ? ? 0,1?) ,则 f ( x ) 的周期 T=2a; 2 1 ( f ( x) ? 0) ,则 f ( x) 的周期 T=3a; (3) f ( x) ? 1 ? f ( x ? a) f ( x1 ) ? f ( x2 ) (4) f ( x1 ? x2 ) ? 且 f (a) ? 1( f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1,0 ?| x1 ? x2 |? 2a) ,则 f ( x ) 的周期 T=4a; 1 ? f ( x1 ) f ( x2 ) (5) f ( x) ? f ( x ? a) ? f ( x ? 2a) f ( x ? 3a) ? f ( x ? 4a) ? f ( x) f ( x ? a) f ( x ? 2a) f ( x ? 3a) f ( x ? 4a) ,则 f ( x) 的周期 T=5a; (6) f ( x ? a) ? f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f ( x ) 的周期 T=6a.
或 f ( x ? a) ? 30.分数指数幂 (1) a n ? (2) a
m ? n

m

1
n

?

a 1

m

( a ? 0, m, n ? N ,且 n ? 1 ). ( a ? 0, m, n ? N ,且 n ? 1 ).
?

?

a

m n

31.根式的性质 (1) ( n a )n ? a . (2)当 n 为奇数时, n an ? a ; 当 n 为偶数时, a n ?| a |? ?
n

? a, a ? 0 . ? ? a, a ? 0

32.有理指数幂的运算性质

ar ? as ? ar ?s (a ? 0, r, s ? Q) . r s rs (2) (a ) ? a (a ? 0, r, s ? Q) . r r r (3) (ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? Q) .
(1) 注: 若 a>0,p 是一个无理数,则 a 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数 幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式
p

loga N ? b ? ab ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .
34.对数的换底公式

log m N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1 , N ? 0 ). log m a n n 推论 log a m b ? log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m, n ? 0 ,且 m ? 1 , n ? 1 , N ? 0 ). m log a N ?
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35.对数的四则运算法则 若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ;

M ? log a M ? log a N ; N (3) loga M n ? n loga M (n ? R) .
(2) log a
2 36.设函数 f ( x) ? logm (ax2 ? bx ? c)(a ? 0) ,记 ? ? b ? 4ac .若 f ( x) 的定义域为 R ,则 a ? 0 , 且? ? 0;

若 f ( x) 的值域为 R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 .对于 a ? 0 的情形,需要单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广

1 ,则函数 y ? logax (bx) a 1 1 (1)当 a ? b 时,在 (0, ) 和 ( , ??) 上 y ? logax (bx) 为增函数. a a 1 1 (2)当 a ? b 时,在 (0, ) 和 ( , ??) 上 y ? logax (bx) 为减函数. a a
若a ? 0,b ? 0, x ? 0 , x ? 推论:设 n ? m ? 1, p ? 0 , a ? 0 ,且 a ? 1 ,则 (1) logm? p (n ? p) ? logm n . (2) log a m log a n ? log a 38. 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为 N,平均增长率为 p ,则对于时间 x 的总产值 y ,有 y ? N (1 ? p) x . 39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系
2

m?n . 2

n ?1 ?s1 , ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ). an ? ? s ? s , n ? 2 ? n n?1
40.等差数列的通项公式

an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ;
其前 n 项和公式为

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2 d 1 ? n 2 ? (a1 ? d )n . 2 2 sn ?
41.等比数列的通项公式

an ? a1q n ?1 ?

a1 n ? q (n ? N * ) ; q

其前 n 项的和公式为

? a1 (1 ? q n ) ,q ?1 ? sn ? ? 1 ? q ? na , q ? 1 ? 1

? a1 ? an q ,q ?1 ? 或 sn ? ? 1 ? q . ?na , q ? 1 ? 1
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42.等比差数列 ?an ?: an?1 ? qan ? d , a1 ? b(q ? 0) 的通项公式为

?b ? (n ? 1)d , q ? 1 ? an ? ? bq n ? (d ? b)q n ?1 ? d ; , q ? 1 ? q ?1 ?
其前 n 项和公式为

1234567891011121314151617181920212223242526272829

 


 

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