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高中数学知识点总结(最全版)96


①加法: loga M ? loga N ? loga (MN ) ③数乘: n loga M ? loga M n (n ? R)
n ⑤ log ab M ?

M N

?N

n log a M (b ? 0, n ? R ) b

⑥换底公式: log a N ?
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logb N (b ? 0, 且b ? 1) logb a

【2.2.2】对数函数及其性质 (5)对数函数 函数 名称 定义 对数函数 函数 y ? log a x(a ? 0 且 a ? 1) 叫做对数函数

a ?1

0 ? a ?1

y
图象

x?1

y ? loga x

y

x?1

y ? loga x

O

1

(1, 0)

0

x
(0, ??)

O

(1, 0) 1 0

x

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在 (0, ??) 上是增函数

R
图象过定点 (1, 0) ,即当 x ? 1 时, y ? 0 . 非奇非偶 在 (0, ??) 上是减函数

log a x ? 0 ( x ? 1)
函数值的 变化情况

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

a 变化对 图象的影响
(6)反函数的概念

在第一象限内, a 越大图象越靠低;在第四象限内, a 越大图象越靠高.

设函数 y ? f ( x) 的定义域为 A ,值域为 C ,从式子 y ? f ( x) 中解出 x ,得式子 x ? ? ( y ) .如果对于 y 在 通过式子 x ? ? ( y ) ,x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应, 那么式子 x ? ? ( y ) 表示 x 是 y C 中的任何一个值, 的函数,函数 x ? ? ( y ) 叫做函数 y ? f ( x) 的反函数,记作 x ? f (7)反函数的求法 ①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式 y ? f ( x) 中反解出 x ? f ③将 x ? f
?1 ?1 ?1

( y) ,习惯上改写成 y ? f ?1 ( x) .

( y) ;

( y) 改写成 y ? f ?1 ( x) ,并注明反函数的定义域.

(8)反函数的性质 ①原函数 y ? f ( x) 与反函数 y ? f
?1

( x) 的图象关于直线 y ? x 对称.
?1

②函数 y ? f ( x) 的定义域、值域分别是其反函数 y ? f

( x) 的值域、定义域.

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③若 P (a, b) 在原函数 y ? f ( x) 的图象上,则 P ' (b, a) 在反函数 y ? f ?1 ( x) 的图象上. ④一般地,函数 y ? f ( x) 要有反函数则它必须为单调函数. 〖2.3〗幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,函数 y ? x 叫做幂函数,其中 x 为自变量, ? 是常数.
?

(2)幂函数的图象

(3)幂函数的性质 ①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二 象限(图象关于 y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图
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象只分布在第一象限. ②过定点:所有的幂函数在 (0, ??) 都有定义,并且图象都通过点 (1,1) . ③单调性:如果 ? ? 0 ,则幂函数的图象过原点,并且在 [0, ??) 上为增函数.如果 ? ? 0 ,则幂函数的图象在

(0, ??) 上为减函数,在第一象限内,图象无限接近 x 轴与 y 轴.
④奇偶性:当 ? 为奇数时,幂函数为奇函数,当 ? 为偶数时,幂函数为偶函数.当 ? ?
q

q (其中 p, q 互质, p p
q

和q?Z ) ,若 p 为奇数 q 为奇数时,则 y ? x p 是奇函数,若 p 为奇数 q 为偶数时,则 y ? x p 是偶函数,若 p 为 偶数 q 为奇数时,则 y ? x 是非奇非偶函数.
? ⑤图象特征:幂函数 y ? x , x ? (0, ??) ,当 ? ? 1 时,若 0 ? x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 下方,若 x ? 1 ,其图
q p

象在直线 y ? x 上方,当 ? ? 1 时,若 0 ? x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 上方,若 x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 下方. 〖补充知识〗二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式: f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ②顶点式: f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0) ③两根式:

f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) (2)求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时,宜用一般式. ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与 x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求 f ( x) 更方便. (3)二次函数图象的性质 ①二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象是一条抛物线,对称轴方程为 x ? ?
2

b , 顶点坐标是 2a

(?

b 4ac ? b 2 , ). 2a 4a
b b b ] 上递减,在 [ ? , ?? ) 上递增,当 x ? ? 时, 2a 2a 2a

②当 a ? 0 时,抛物线开口向上,函数在 ( ??, ?

f min ( x) ?

4ac ? b 2 b b b ] 上递增, , ?? ) 上递减, ; 当 a ? 0 时, 抛物线开口向下, 函数在 ( ??, ? 在 [? 当x ? ? 2a 2a 2a 4a 4ac ? b 2 . 4a

时, f max ( x) ?

2 2 ③二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 当 ? ? b ? 4ac ? 0 时,图象与 x 轴有两个交点

M1 ( x1 ,0), M 2 ( x2 ,0),| M1M 2 |?| x1 ? x2 |?

? . |a|
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(4)一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统 和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用,下面结合二次 函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布. 设一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两实根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 .令 f ( x) ? ax ? bx ? c ,从以下四个
2 2

方面来分析此类问题:①开口方向: a ②对称轴位置: x ? ? ①k<x1≤x2
f (k ) ? 0
?

b ③判别式: ? ④端点函数值符号. 2a

?
y
a?0
O

y
x??

b 2a

k x1
x??

k
x2
b 2a

O

x

?

x1

x2 x
a?0

f (k ) ? 0

②x1≤x2<k
a?0

?
y
f (k ) ? 0
?

y
x??
O

b 2a

O

x1

1234567891011121314151617181920212223242526272829

 


 

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