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1991—2015年全国初中数学联赛试题【附答案】71


1991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇

1991 年全国初中数学联合竞赛决赛试题
第一试
一、选择题 本题共有 8 个小题,每小题都给出了(A) 、 (B) (C) 、 (D)四个答案结论,其中只有一个是 正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内. 1. 设等式 a( x ? a) ? a( y ? a) ? x ? a ? a ? y 在实数范围内成立,其中 a,x,y 是

两两不同的实数,则 (A)3 ;
1 (B) ; 3

3x 2 ? xy ? y 2 的值是 x 2 ? xy ? y 2
(C)2;
5 (D) . 3

答( ) 2. 如图,AB‖EF‖CD,已知 AB=20,CD=80,BC=100,那么 EF 的值是 (A) 10; (B)12; (C) 16; (D)18. 答( ) 3. (A) 方程 x 2 ? x ? 1 ? 0 的解是
1? 5 ; 2 1? 5 ?1? 5 或 ; 2 2

(B)

?1? 5 ; 2 ?1? 5 . 2

(C) 答( 4.

(D) ?


? 1 已知: x ? (1991n ? 1991 n ) (n 是自然数) .那么 ( x ? 1 ? x 2 ) n ,的值是 2
?1 (B) ? 1991 ;

1

1

?1 (A) 1991 ;

(C) (?1) n 1991; 答( 5. )

?1 (D) (?1) n 1991 .

若 1? 2 ? 3 ? ?? 99 ? 100 ? 12n M ,其中M为自然数,n 为使得等式成立的最大的自

然数,则M (A)能被2整除,但不能被3整除; (B)能被3整除,但不能被2整除; (C)能被4整除,但不能被3整除; (D)不能被3整除,也不能被2整除.

1991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇

答( ) 6. 若 a,c,d 是整数,b 是正整数,且满足 a ? b ? c , b ? c ? d , c ? d ? a ,那么 a ? b ? c ? d 的最大值是 (A) ? 1 ; (B) ? 5 ; (C) 0 ; (D)1. 答( ) 7. 如图, 正方形 OPQR 内接于Δ ABC. 已知Δ AOR、 Δ BOP 和Δ CRQ 的面积分别是 S1 ? 1 ,
S1 ? 1

S 2 ? 3 和 S 3 ? 1 ,那么,正方形 OPQR 的边长是
(A) 2 ; (B) 3 ; (C)2 ; (D)3. 答( 8. )
S2 ? 3

S 3 =1

在锐角Δ ABC 中, AC ? 1 , AB ? c , ?A ? 60? ,Δ ABC 的外接圆半径 R ≤1,则

1 1 (A) < c < 2 ; (B)0< c ≤ ; 2 2 答( ) (C)c > 2; (D)c = 2. 答( ) 二、填空题 1.E是平行四边形 ABCD 中 BC 边的中点,AE 交对角线 BD 于 G,如果Δ BEG 的面积是 1,则平行四边形 ABCD 的面积是 .

2. 已知关于 x 的一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 没有实数解. 甲由于看错了二次项系数, 误求得两根为2和4;乙由于看错了某一项系数的符号,误求得两根为-1和4,那么, 2b ? 3c ? . a
( x ? 1) m ( x ? 1) p ?1 ? 3.设 m,n,p,q 为非负数,且对一切 x >0, 恒成立,则 xn xq

(m2 ? 2n ? p) 2q ?

4.四边形 ABCD 中,∠ ABC ? 135? ,∠BCD ? 120? ,AB ? 6 ,BC ? 5 ? 3 ,

CD = 6,则 AD =


120?

135

?

第二试

1991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇

x + y, x - y, x y,

x y

四个数中的三个又相同的数值,求出所有具有这样性质的数对(x , y) . 二、Δ ABC 中,AB<AC<BC,D 点在 BC 上,E 点在 BA 的延长线上,且 BD=BE=AC,Δ BDE 的外接圆与Δ ABC 的外接圆交于 F 点(如图) . 求证:BF=AF+CF

三、将正方形 ABCD 分割为 n 2 个相等的小方格(n 是自然数) ,把相对的顶点 A,C 染成红 色,把 B,D 染成蓝色,其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色.证明:恰有三个顶点 同色的小方格的数目必是偶数.

1992 年全国初中数学联合竞赛决赛试题
第一试
一.选择题

1991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇

本题共有 8 个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请 把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内. 1.满足 a ? b ? ab ? 1 的非负整数 ( a, b) 的个数是 (A)1; (B)2; (C)3; (D)4.

2. 若 x0 是一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根 , 则判别式 ? ? b 2 ? 4ac 与平方式

M ? (2ax0 ? b) 2 的关系是
(A) ? > M (B) ? = M (C) ? > M ; (D)不确定.

3.若 x 2 ? 13x ? 1 ? 0 ,则 x 4 ? x ?4 的个位数字是 (A)1; 答( (B)3; ) (C)5; (D)7.

4.在半径为 1 的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于 1 且小于 2 ,则这个多边形的 边数必为 (A)7; 答( (B)6; ) 数 y?
k (k ? 0) x S1 和 S2,则 S1

(C)5;

(D)4.

5. 如图 ,正比例函数 y ? x和y ? ax(a ? 0) 的图像与反比例函 的图像分别相交于 A 点和 C 点.若 Rt ?AOB 和 ?COD 的面积分别为 与 S2 的关系是 (A) S1 ? S 2 (C) S1 ? S 2 (B) S1 ? S 2 (D)不确定 答(

)

6.在一个由 8 ? 8 个方格组成的边长为 8 的正方形棋盘内放一个半径为 4 的圆,若把圆周 经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为 S1 ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的 面积之和记为 S 2 ,则 (A)0; 答(

S1 的整数部分是 S2
(B)1; (C)2; (D)3.

)

7. 如 图 , 在 等 腰 梯 形 ABCD 中 , AB//CD, AB=2CD, ?A ? 60? ,又 E 是底边 AB 上一点,且 FE=FB=AC, FA=AB. 则 AE:EB 等于 (A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:10 答( )

1991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇

8.设 x1 , x2 , x3 ,? ? ?, x9 均为正整数,且

x1 ? x2 ? ? ? ? ? x9 , x1 ? x2 ? ? ? ? ? x9 ? 220,则当 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 的值最大时, x9 ? x1 的最小
值是 (A)8; (B)9; (C)10; (D)11. 答( ) 二.填空题 1.若一等腰三角形的底边上的高等于 18cm,腰上的中线等 15cm,则这个等腰三角形的面 积等于________________. 2.若 x ? 0 ,则

1? x2 ? x4 ? 1? x4 的最大值是__________. x

3. 在 ?ABC 中 , ?C ? 90? , ?A和?B 的 平 分 线 相 交 于 P 点 , 又 PE ?AB 于 E 点 , 若
BC ? 2, AC ? 3 ,则 AE ? EB ?

.
1 1 1 b a ? ? ? 0 ,则 ( ) 3 ? ( ) 3 ? a b a?b a b

4.若 a , b 都是正实数,且

.

第二试
一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程 x 2 ? 6 x ? a ? 0 的两根,当这样的三角形只 有一个时,求 a 的取值范围. 二、如图,在 ?ABC 中, AB ? AC, D 是底边 BC 上一点, E 是线段 AD 上一点,且
?BED ? 2?CED ? ?A . 求证: BD ? 2CD .

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