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1991—2015年全国初中数学联赛试题【附答案】71


4 7

6 2

B. 2

C. 3

D. 6

4.6 张不同的卡片上分别写有数字 2,2,4,4,6,6,从中取出 3 张,则这 3 张卡片上所写的数 字可以作为三角形的三边长的概率是 【 】

1991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇

A.

1 2

B.

2 5

C.

2 3

D.

3 4

3 5. 设 [t ] 表示不超过实数 t 的最大整数, 令 {t} ? t ? [t ] .已知实数 x 满足 x ?

1 1 ? 18 , x{ ?} ? 则 {} 3 x x

】 A.

1 2

B. 3 ? 5

C.

1 (3 ? 5) 2

D .1

6.在△ ABC 中,?C ? 90? ,?A ? 60? 错误!未找到引用源。 , AC ? 1 ,D 在 BC 上, E 在 AB 上,使得△ ADE 为等腰直角三角形, ?ADE ? 90? ,则 BE 的长为 【 】 A. 4 ? 2 3 B. 2 ? 3 C.

1 ( 3 ? 1) 2

D. 3 ? 1

二、填空题: (本题满分 28 分,每小题 7 分) 1.已知实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 1 , 2 .使得不等式 为 .

1 1 1 ? ? ? 1 ,则 abc ? ____. a ?b?c b?c ?a c ? a ?b

9 n 8 ? ? 错误!未找到引用源。对唯一的整数 k 成立的最大正整数 n 17 n ? k 15

3.已知 P 为等腰△ ABC 内一点, AB ? BC , ?BPC ? 108? , D 为 AC 的中点, BD 与 PC 交 于点 E ,如果点 P 为△ ABE 的内心,则 ?PAC ? .
2 4.已知正整数 a, b, c 满足: 1 ? a ? b ? c , a ? b ? c ? 111, b ? ac ,则 b ?

三、 (本题满分 20 分)设实数 a , b 满足 a (b ? 1) ? b(b ? 2a) ? 40 , a(b ? 1) ? b ? 8 ,求
2 2

1 1 ? 2 2 a b

的值.

四、 . (本题满分 25 分) 如图,在平行四边形 ABCD中, E 为对角线 BD 上一点,且满足 ?ECD ? ?ACB , AC 的延长线与△ ABD 的外接圆交于点 F . 证明: ?DFE ? ?AFB .

D A B E C F

1991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇

五、 (本题满分 25 分) 设 n 是整数,如果存在整数 x, y, z 满足 n ? x3 ? y3 ? z 3 ? 3xyz ,则称 n 具有性质 P . (1)试判断 1,2,3 是否具有性质 P ; (2)在 1,2,3,?,2013,2014 这 2014 个连续整数中,不具有性质 P 的数有多少个?

2014 年全国初中数学联赛决赛试题和参考答案
一、选择题: (本题满分 42 分,每小题 7 分) 1.已知 x , y 为整数,且满足 ( ? 的可能的值有 A. 1 个 【答】 C.

1 x

1 1 1 2 1 1 )( 2 ? 2 ) ? ? ( 4 ? 4 ) ,错误!未找到引用源。则 x ? y y x y 3 x y
【 】 C. 3 个 D. 4 个

B. 2 个

x ? y x2 ? y 2 2 x4 ? y 4 ? 2 2 ? ? 4 4 ,显然 x, y 均不为 0,所以 x ? y =0 或 3xy ? 2( x ? y) . 由已知等式得 xy x y 3 x y
若 3xy ? 2( x ? y ) ,则 (3x ? 2)(3 . 又 x , y 为整数,可求得 ? y ? 2) ?? 4

? x ? ?1, ? x ? ?2, 或? 所以 ? y ? 2, ? y ? 1.

x ? y ? 1 或 x ? y ? ?1 .
因此, x ? y 的可能的值有 3 个.

1991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇

2.已知非负实数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? 1 ,则 t ? 2 xy ? yz ? 2 zx 的最大值为 【 A.

4 7

B.

5 9

C.

9 16

D.

12 25

【答】 A.

1 t ? 2 xy ? yz ? 2 zx ? 2 x( y ? z ) ? yz ? 2 x( y ? z ) ? ( y ? z ) 2 4 7 3 1 7 3 4 1 ? 2 x(1 ? x) ? (1 ? x) 2 ? ? x 2 ? x ? ? ? ( x ? ) 2 ? , 4 2 4 4 7 7 4 3 4 2 易知:当 x ? , y ? z ? 时, t ? 2 xy ? yz ? 2 zx 取得最大值 . 7 7 7 3.在△ ABC 中, AB ? AC , D 为 BC 的中点, BE ? AC 于 E ,交 AD 于 P ,已知 BP ? 3 , PE ? 1 ,则错误!未找到引用源。= 【 】
A.

6 2

B. 2

C. 3

D. 6

【答】 B.

因 为 A D ? B C, BE ? AC , 所 以 P, D, C , E 四 点 共 圆 , 所 以 BD ? BC ? BP ? BE ? 12 , 又

B C ? 2 B D,所以 BD ? 6 ,所以 DP ? 3 .
又易知△ AEP ∽△ BDP ,所以

PE 1 AE PE ? ? BD ? ? 6? 2. ,从而可得 AE ? BD DP DP 3

4.6 张不同的卡片上分别写有数字 2,2,4,4,6,6,从中取出 3 张,则这 3 张卡片上所写的数 字可以作为三角形的三边长的概率是 【 】 A.

1 2

B.

2 5

C.

2 3

D.

3 4

【答】 B. 若取出的 3 张卡片上的数字互不相同,有 2×2×2=8 种取法;若取出的 3 张卡片上的数字有相同 的,有 3×4=12 种取法.所以,从 6 张不同的卡片中取出 3 张,共有 8+12=20 种取法. 要使得三个数字可以构成三角形的三边长,只可能是: (2,4,4) , (4,4,6) , (2,6,6) , (4,6, 6) ,由于不同的卡片上所写数字有重复,所以,取出的 3 张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长 的情况共有 4×2=8 种. 因此,所求概率为

8 2 ? . 20 5

3 5. 设 [t ] 表示不超过实数 t 的最大整数, 令 {t} ? t ? [t ] .已知实数 x 满足 x ?

1 1 ? 18 , x{ ?} ? 则 {} 3 x x

】 A.

1 2

B. 3 ? 5

C.

1 (3 ? 5) 2

D .1

1991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇

【答】 D. 设 x?

1 1 1 1 1 1 ? a , 则 x3 ? 3 ? ( x ? )( x 2 ? 2 ? 1) ? ( x ? )[( x ? ) 2 ? 3] ? a(a 2 ? 3) , 所 以 x x x x x x

a(a2 ? 3) ? 18 ,因式分解得 (a ? 3)(a2 ? 3a ? 6) ? 0 ,所以 a ? 3 .
1 1 1 1 ? 3 解得 x ? (3 ? 5) ,显然 0 ? {x} ? 1, 0 ? { } ? 1 ,所以 {x} ? { } ? 1. x 2 x x 6.在△ ABC 中,?C ? 90? ,?A ? 60? 错误!未找到引用源。 , AC ? 1 ,D 在 BC 上, E 在 AB 上,使得△ ADE 为等腰直角三角形, ?ADE ? 90? ,则 BE 的长为 【 】 1 A. 4 ? 2 3 B. 2 ? 3 C. ( 3 ? 1) D. 3 ? 1 2
由x? 【答】 A.

过 E 作 EF ? BC 于 F ,易知△ ACD ≌△ DFE ,△ EFB ∽△ ACB .

?2 设 EF ? x , 则 B E

x , AE ? 2 ? 2 x , DE ? 2(1 ? x) , DF ? AC ? 1 , 故
C

12 ? x 2 ? [

123456789101112

 


 

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