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1991—2015年全国初中数学联赛试题【附答案】71


2 2? ( x 1 ,即 )x ]2 ? 4 x ? 1 ? 0 . 又 0 ? x ? 1 ,故可得

D F

x ? 2? 3 .
故 BE ? 2 x ? 4 ? 2 3 . 二、填空题: (本题满分 28 分,每小题 7 分) 1.已知实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 1 , 【答】 0. 由题意知
A E

B

1 1 1 ? ? ? 1 ,则 abc ? ____. a ?b?c b?c ?a c ? a ?b

1 1 1 ? ? ? 1 ,所以 1 ? 2c 1 ? 2a 1 ? 2b

(1 ? 2a)(1 ? 2b) ? (1 ? 2b)(1 ? 2c) ? (1 ? 2a)(1 ? 2c) ? (1 ? 2a)(1 ? 2b)(1 ? 2c)
整理得 2 ? 2(a ? b ? c) ? 8abc ,所以 abc ? 0. 2 .使得不等式 为 . 【答】144. 由 条 件 得

9 n 8 ? ? 错误!未找到引用源。对唯一的整数 k 成立的最大正整数 n 17 n ? k 15

7 k 8 k ?1 7 k ?1 8 ? ? ? ? , 由 k 的 唯 一 性 , 得 且 , 所 以 8 n 9 n 8 n 9 2 k ? 1 k ?1 8 7 1 ? ? ? ? ? ,所以 n ? 144 . n n n 9 8 72

1991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇

当 n ? 144 时,由

7 k 8 ? ? 可得 126 ? k ? 128 , k 可取唯一整数值 127. 8 n 9

故满足条件的正整数 n 的最大值为 144. 3.已知 P 为等腰△ ABC 内一点, AB ? BC , ?BPC ? 108? , D 为 AC 的中点, BD 与 PC 交 于点 E ,如果点 P 为△ ABE 的内心,则 ?PAC ? . B 【答】 48 ? . 由题意可得 ?PEA ? ?PEB ? ?CED ? ?AED , 而 ?PEA ? ?PEB ? ?AED ? 180? , 所以 ?PEA ? ?PEB ? ?CED ? ?AED ? 60? , 从而可得 ?PCA ? 30? . 又 ?BPC ? 108? ,所以 ?PBE ? 12? ,从而 ?ABD ? 24? . P E 所以 ?BAD ? 90? ? 24? ? 66? ,

C

D

A

1 1 (?BAD ? ?CAE ) ? (66? ? 30?) ? 18? , 2 2 所以 ?PAC ? ?PAE ? ?CAE ? 18? ? 30? ? 48? ?PAE ?
2 4.已知正整数 a, b, c 满足: 1 ? a ? b ? c , a ? b ? c ? 111, b ? ac ,则 b ?

【答】36. 设 a , c 的最大公约数为 (a, c) ? d , a ? a1d , c ? c1d , a1 , c1 均为正整数且 (a1 , c1 ) ? 1 , a1 ? c1 , 则 b2 ? ac ? d 2 a1c1 , 所以 d | b , 从而 d | b , 设 b ?bd , 则有 b12 ? a1c1 , 而 (a1 , c1 ) ? 1 , 1 ( b1 为正整数)
2 2

所以 a1 , c1 均为完全平方数,设 a1 ? m2 , c1 ? n2 ,则 b1 ? mn ,m, n 均为正整数,且 (m, n) ? 1 ,m ? n . 又 a ? b ? c ? 111,故 d (a1 ? b1 ? c1 ) ? 111,即 d (m ? n ? mn) ? 111 .
2 2
2 2 2 2 注意到 m ? n ? mn ? 1 ? 2 ? 1? 2 ? 7 ,所以 d ? 1 或 d ? 3 .

2 2 若 d ? 1 ,则 m ? n ? mn ? 111 ,验算可知只有 m ? 1, n ? 10 满足等式,此时 a ? 1 ,不符合题意,

故舍去.
2 2 若 d ? 3, 则 m ? n ? mn ? 37 , 验算可知只有 m ? 3, n ? 4 满足等式, 此时 a ? 27, b ? 36, c ? 48 ,

符合题意. 因此,所求的 b ? 36 . 三、 (本题满分 20 分)设实数 a , b 满足 a (b ? 1) ? b(b ? 2a) ? 40 , a(b ? 1) ? b ? 8 ,求
2 2

1 1 ? 2 2 a b

的值.

1991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇

解 由已知条件可得 a2b2 ? (a ? b)2 ? 40 , ab ? (a ? b) ? 8 . 设 a ? b ? x , ab ? y ,则有 x 2 ? y 2 ? 40 , x ? y ? 8 , 联立解得 ( x, y) ? (2,6) 或 ( x, y) ? (6, 2) . ????5 分 ???10 分

若 ( x, y) ? (2,6) ,即 a ? b ? 2 , ab ? 6 ,则 a , b 是一元二次方程 t 2 ? 2t ? 6 ? 0 的两

根 , 但 这 个 方 程 的 判 别 式 根; ???? ?

? ? (?2)2 ? 24 ? ?20 ? 0 , 没 有 实 数
15 分

2 若 ( x, y) ? (6, 2) ,即 a ? b ? 6 , ab ? 2 ,则 a , b 是一元二次方程 t ? 6t ? 2 ? 0 的两根,这个方程

的判别式 ? ? (?6)2 ? 8 ? 28 ? 0 ,它有实数根.所以

1 1 a 2 ? b2 (a ? b)2 ? 2ab 62 ? 2 ? 2 ? ? 2 2 ? ? ? 8. a 2 b2 ab a 2b 2 22

???20 分

四、 . (本题满分 25 分)如图,在平行四边形 ABCD 中, E 为对角线 BD 上一点,且满足 ?ECD ? ?ACB , AC 的延长线与△ ABD 的外接圆交于点 F . 证明: ?DFE ? ?AFB . 证 明 由 ABCD 是 平 行 四 边 形 及 已 知 条 件 知 D ?ECD ? ?ACB ? ?DAF . ???5 分 A E 又 A 、 B 、 F 、 D 四 点 共 圆 , 所 以 C F ? BDC ? ? ABD ? ? AFD ,………… ….10 分 B 所以△ ECD ∽△ DAF , ?? ?15 分

ED CD AB ? ? . ???20 分 DF AF AF 又 ?EDF ? ?BDF ? ?BAF ,所以△ EDF ∽△ BAF ,故 ?DFE ? ?AFB .????? ???25 分
所以 五、 (本题满分 25 分) 设 n 是整数,如果存在整数 x, y, z 满足 n ? x ? y ? z ? 3xyz ,则称 n 具有性质 P .
3 3 3

(1)试判断 1,2,3 是否具有性质 P ; (2)在 1,2,3,?,2013,2014 这 2014 个连续整数中,不具有性质 P 的数有多少个?
3 3 3 解 取 x ? 1 , y ? z ? 0 ,可得 1 ? 1 ? 0 ? 0 ? 3 ?1? 0 ? 0 ,所以 1 具有性质 P ; 3 3 3 取 x ? y ? 1 , z ? 0 ,可得 2 ? 1 ? 1 ? 0 ? 3 ?1?1? 0 ,所以 2 具有性质 P ;???????5

1991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇

分 若 3 具有性质 P ,则存在整数 x, y, z 使得 3 ? ( x ? y ? z)3 ? 3( x ? y ? z)( xy ? yz ? zx) ,从而可得

3| ( x ? y ? z)3 ,故 3 | ( x ? y ? z ) ,于是有 9 | ( x ? y ? z)3 ? 3( x ? y ? z)( xy ? yz ? zx) ,即 9 | 3 ,这是
不可能的,所以 3 不具有性质 P . ????????10 分

(2)记 f ( x, y, z) ? x 3 ? y 3 ? z 3 ? 3xyz ,则

f ( x, y, z) ? ( x ? y)3 ? z 3 ? 3xy( x ? y) ? 3xyz ? ( x ? y ? z)3 ? 3( x ? y) z( x ? y ? z) ? 3xy( x ? y ? z)
= ( x ? y ? z)3 ? 3( x ? y ? z)( xy ? yz ? zx)

1 ( x ? y ? z )( x 2 ? y 2 ? z 2 ? xy ? yz ? zx) 2 1 ? ( x ? y ? z )[( x ? y ) 2 ? ( y ? z ) 2 ? ( z ? x) 2 ] . 2 1 2 2 2 即 f ( x, y, z ) ? ( x ? y ? z )[( x ? y ) ? ( y ? z ) ? ( z ? x) ] 2 ?
????????15 分 不妨设 x ? y ? z ,

如果 x ? y ? 1, y ? z ? 0, x ? z ? 1,即 x ? z ? 1, y ? z ,则有 f ( x, y, z ) ? 3z ? 1 ; 如果 x ? y ? 0, y ? z ? 1, x ? z ? 1,即 x ? y ? z ? 1 ,则有 f ( x, y, z ) ? 3z ? 2 ; 如果 x ? y ? 1, y ? z ? 1, x ? z ? 2 ,即 x ? z ? 2, y ? z ? 1 ,则有 f ( x, y, z ) ? 9( z ? 1) ; 由此可知,形如 3k ? 1 或 3k ? 2 或 9 k ( k 为整数)的数都具有性质 P .????????20 分 又 若 3 | f

123456789101112

 


 

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