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1991—2015年全国初中数学联赛试题【附答案】71


三、某个信封上的两个邮政编码 M 和 N 均由 0,1,2,3,5,6 这六个不同数字组成, 现有四个编码如下: A:320651 B:105263 C:612305 D:316250 已知编码 A、B、C、D 各恰有两个数字的位置与 M 和 N 相同.D 恰有三个数字的位置 与 M 和 N 相同.试求:M 和 N.

1993 年全国初中数学联合竞赛决赛试题
第一试
一.选择题
本题共有 8 个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.

1991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇

请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内. 1.多项式 x12 ? x 6 ? 1 除以 x 2 ? 1 的余式是 (A)1; (B)-1; (C) x ? 1 ; (D) x ? 1 ; 2.对于命题 Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形. Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是 (A)Ⅰ,Ⅱ都对 (B)Ⅰ对,Ⅱ错 (C)Ⅰ错,Ⅱ对. (D)Ⅰ,Ⅱ都错. 3.设 x 是实数, y ? x ? 1 ? x ? 1 .下列四个结论: Ⅰ. y 没有最小值; Ⅱ.只有一个 x 使 y 取到最小值; Ⅲ.有有限多个 x (不止一个)使 y 取到最大值; Ⅳ.有无穷多个 x 使 y 取到最小值. 其中正确的是 (A)Ⅰ (B)Ⅱ (C)Ⅲ (D)Ⅳ

4.实数 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 满足方程组
? x1 ? x 2 ? x3 ? a1 ; ?x ? x ? x ? a ; 2 3 4 2 ? ? ? x3 ? x 4 ? x5 ? a 3 ; ?x ? x ? x ? a ; 5 1 4 ? 4 ? ? x5 ? x1 ? x 2 ? a5 .

其中 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 是实常数,且 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ,则 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 的大小顺序是 (A) x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ; (C) x3 ? x1 ? x4 ? x2 ? x5 ; (B) x4 ? x2 ? x1 ? x3 ? x5 ; (D) x5 ? x3 ? x1 ? x4 ? x2 .

5.不等式 x ? 1 ? ( x ? 1) 2 ? 3x ? 7 的整数解的个解 (A)等于 4 (B)小于 4 (C)大于 5 (D)等于 5

, O是垂心, AO ? BC , 6.在 ?ABC 中, ?A是钝角
则cos( ?OBC ? ?OCB) 的值是 (A) ?
2 2

(B)

2 2

1991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇

(C)

3 2

(D) ?

1 . 2

答( ) 7.锐角三角 ABC 的三边是 a, b, c,它的外心到三边的距离分别 p,那么 m:n:p 等于 1 1 1 (A) : : ; (B) a : b : c a b c (C) cos A : cos B : cos C (D) sin A : sin B : sin C . 答( ) 8. 3 3 (3

为 m, n,

4 3 2 3 1 ?1 ? ? ) 可以化简成 9 9 9
(B) 3 3(3 2 ? 1) (C) 3 2 ? 1 (D) 3 2 ? 1

(A) 3 3(3 2 ? 1) ; 答( )

二.填空题
1.当 x 变化时,分式

3x 2 ?6 x ? 5 的最小值是___________. 1 2 x ? x ? 1 2

2.放有小球的 1993 个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有 7 个小球,且每四个 相邻的盒里共有 30 个小球,那么最右面的盒里有__________个小球. 3.若方程 ( x 2 ? 1)(x 2 ? 4) ? k 有四个非零实根 ,且它们在数轴上对应的四个点等距排列 , 则 k =____________. 4.锐角三角形 ABC 中, ?A ? 30? .以 BC 边为直径作圆,与 AB, AC 于 D, E,连接 DE, 把三角形 ABC 分成三角形 ADE 与四边形 BDEC, 的面积分别为 S1, S2,则 S1:S2=___________. 分别交 设它们

第二试
一.设 H 是等腰三角形 ABC 垂心,在底边 BC 保持不变的情况下让顶点 A 至底边 BC 的 距离变小,这时乘积 S ?ABC ? S ?HBC 的值变小,变大,还是不变?证明你 论. 二. ?ABC 中, BC=5, AC=12, AB=13, 在边 AB ,AC 上分别取点 D, E, 的 结

使线段 DE 将 ?ABC 分成面积相等的两部分.试求这样的线段 DE 的最小长度.

? , x2 ? ,且 三 . 已 知 方 程 x 2 ?bx ? c ? 0及x 2 ? cx ? b ? 0 分 别 各 有 两 个 整 数 根 x1 , x 2 及 x1

1991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇

? x2 ? ? 0. x1 x2 ? 0, x1 ? ? 0, x2 ? ? 0; (1)求证: x1 ? 0, x2 ? 0, x1
(2)求证: b ? 1 ≤ c ≤ b ? 1 ; (3)求 b, c 所有可能的值.

1994年全国初中数学联赛试题
第一试 (4月3日上午8:30—9:30) 考生注意:本试共两道大题,满分80分. 一、选择题(本题满分48分,每小题6分) 本题共有8个小题都给出了A,B、C,D,四个结论,其中只有一个是正确的, 请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内,每小题选对得 6分;

1991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇

不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在圆括号内) ,一律得0分.

〔答〕( ) 2 2.设a,b,c是不全相等的任意实数,若x=a -bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,z A.都不小于0 B.都不大于0 C.至少有一个小0于 D.至少有一个大于0 〔答〕( ) 3.如图1所示,半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上,且与其余三边BC, CD,DA相切,若BC=2,DA=3,则AB的长 A.等于4 B.等于5 C.等于6 D.不能确定 〔答〕( )

A.1 ( )

B.-1

C.22001

D.-22001

〔答〕

5.若平行直线EF,MN与相交直线AB,CD 相交成如图2所示的图形,则共得同旁内角 A.4对 B.8对 C.12对 D.16对 〔答〕( )

〔答〕(

)

7.设锐角三角形ABC 的三条高AD,BE,CF相交于 H。若 BC=a,AC=b,AB=c, 则AH·AD+BH·BE+CH·CF的值是

〔答〕(

)

A.1001 B.1001,3989 C.1001,1996 D.1001,1996,3989 二、填空题(本题满分32分,每小题8分)

〔答〕(

)

1991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇

各小题只要求在所给横线上直接填写结果.

3 .在△ ABC 中,设 AD 是高, BE 是角平分线,若 BC=6 , CA=7 , AB=8 ,则 DE=______. 4.把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上,使它们两两外切, 若要有用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住, 则这个大圆形纸片的最小半 径等于______. 第二试 (4月3日上午10:00—11:30) 考生注意:本试共三道大题,满分60分. 一、 (本题满分20分) 如图所示, 在△ABC中, AB=AC.任意延长CA到P, 再延长AB到Q, 使AP=BQ.求证: △ABC的外心O与A,P,Q四点共圆。

思路一:△OCP≌△OAQ→→∠CPO=∠AQO→→OAPQ四点共圆(视角定理.) 思路二: △PAO≌△QBO→→∠OPA=∠AQO→→OAPQ 四点共圆(视角定理.) 连接 OB、OA。 ∠OBA=∠OAB=∠OAC ∴∠PAO=∠QBO PA=QB AO=BO ∴△PAO≌△QBO ∠OPA=∠AQO
所以O与A,P,Q,四点同园

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