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1991—2015年全国初中数学联赛试题【附答案】71


1991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇

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答案:

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2008年全国初中数学联合竞赛一试试题及答案

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2008年全国初中数学联合竞赛二试试题及答案

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2009 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第一试
一、选择题(本题满分 42 分,每小题 7 分) 1. 设 a ? 7 ? 1,则 3a ? 12a ? 6a ? 12 ?
3 2

( A D. 4 7 ? 12 . ( C )

A.24.

B. 25.

C. 4 7 ? 10 .

2. 在△ABC 中, 最大角∠A 是最小角∠C 的两倍, 且 AB=7, AC=8, 则 BC= A. 7 2 . B. 10 . C.

105 .

D. 7 3 .

3.用 [ x ] 表示不大于 x 的最大整数,则方程 x2 ? 2[ x] ? 3 ? 0 的解的个数为 A.1. B. 2. C. 3. D. 4.

( C )

4.设正方形 ABCD 的中心为点 O,在以五个点 A、B、C、D、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取 出 两 个 , 它 们 的 面 积 相 等 的 概 率 为 ( B A.

3 . 14

B.

3 . 7

C.

1 . 2

D.

4 . 7
A D

5.如图,在矩形 ABCD 中,AB=3,BC=2,以 BC 为直径在矩形内作半圆,自点 A 作半 圆的切线 AE,则 sin ? CBE= ( D )

6 A. . 3

2 B. . 3

1 C. . 3

10 D. . 10
n ? 1909 为完全平方数的 n 的个数是 2009 ? n
D. 6.

E

B

C

6. 设 n 是大于 1909 的正整数, 使得 A.3. B. 4. C. 5.

( B )

二、填空题(本题满分 28 分,每小题 7 分) 1 . 已 知 t 是 实 数 , 若 a, b 是 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x ? 2x ? t ?1 ? 0 的 两 个 非 负 实 根 , 则
2

(a 2 ? 1)(b2 ?1) 的最小值是_____ ?3 _______.

2. 设 D 是△ABC 的边 AB 上的一点,作 DE//BC 交 AC 于点 E,作 DF//AC 交 BC 于点 F,已知 △ADE、△DBF 的面积分别为 m 和 n ,则四边形 DECF 的面积为___ 2 mn ___.

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3.如果实数 a , b 满足条件 a ? b ? 1 , |1 ? 2a ? b | ?2a ? 1 ? b2 ? a2 ,则 a ? b ? __ ?1 ____.
2 2

4.已知 a , b 是正整数,且满足 2(

15 15 ? ) 是整数,则这样的有序数对 ( a, b) 共有___7__对. a b

第二试
一. (本题满分 20 分)已知二次函数 y ? x2 ? bx ? c (c ? 0) 的图象与 x 轴的交点分别为 A、B, 与 y 轴的交点为 C.设△ABC 的外接圆的圆心为点 P. (1)证明:⊙P 与 y 轴的另一个交点为定点. (2)如果 AB 恰好为⊙P 的直径且 S△ABC=2 ,求 b 和 c 的值. 解 (1)易求得点 C 的坐标为 (0, c ) ,设 A( x1 ,0) , B( x2 ,0) ,则 x1 ? x2 ? ?b , x1 x2 ? c . 设⊙P 与 y 轴的另一个交点为 D,由于 AB、CD 是⊙P 的两条相交弦,它们的交点为点 O,所以 OA×OB=OC×OD,则 OD ?

c OA ? OB x1 x2 ? ? ? 1. OC c c

因为 c ? 0 ,所以点 C 在 y 轴的负半轴上,从而点 D 在 y 轴的正半轴上,所以点 D 为定点,它的 坐标为(0,1). (2) 因为 AB⊥CD, 如果 AB 恰好为⊙P 的直径, 则 C、 D 关于点 O 对称, 所以点 C 的坐标为 (0, ?1) , 即 c ? ?1 . 又 AB ? x1 ? x2 ?

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? (?b) 2 ? 4c ? b 2 ? 4 ,所以

S△ABC ?

1 1 2 AB ? OC ? b ? 4 ?1 ? 2 , 2 2

解得 b ? ?2 3 .

二. (本题满分 25 分) 已知△ABC 中,∠ACB=90°,AB 边上的高线 CH 与△ABC 的两条内 角平分线 AM、BN 分别交于 P、Q 两点.PM、QN 的中点分别为 E、F.求证:EF∥AB.

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A

H

N

F

Q

P E

C

M

B

解 因为 BN 是∠ABC 的平分线,所以 ? ABN ? ? CBN . 又因为 CH⊥AB,所以 ? CQN ? ? BQH ? 90? ? ? ABN ? 90? ? ? CBN ? ? CNB , 因此 CQ ? NC . 又 F 是 QN 的中点,所以 CF⊥QN,所以 ? CFB ? 90? ? ? CHB ,因此 C、F、H、B 四点共圆. 又 ? FBH = ? FBC ,所以 FC=FH,故点 F 在 CH 的中垂线上. 同理可证,点 E 在 CH 的中垂线上. 因此 EF⊥CH. 又 AB⊥CH,所以 EF∥AB.

三. (本题满分 25 分)已知 a, b, c 为正数,满足如下两个条件:

a ? b ? c ? 32 b?c ?a c ? a ?b a ?b?c 1 ? ? ? bc ca ab 4

① ②

是否存在以 a , b , c 为三边长的三角形?如果存在,求出三角形的最大内角. 解法 1 将①②两式相乘,得 (

b?c ?a c ? a ?b a ?b?c ? ? )(a ? b ? c) ? 8 , bc ca ab

(b ? c)2 ? a 2 (c ? a)2 ? b 2 (a ? b) 2 ? c 2 ? ? ?8, bc ca ab (b ? c)2 ? a 2 (c ? a ) 2 ? b 2 ( a ? b) 2 ? c 2 ?4? ?4? ? 0, bc ca ab

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(b ? c)2 ? a 2 (c ? a) 2 ? b 2 (a ? b) 2 ? c 2 ? ? ? 0, bc ca ab

(b ? c ? a)(b ? c ? a ) (c ? a ? b)(c ? a ? b) (a ? b ? c)(a ? b ? c ) ? ? ? 0, bc ca ab (b ? c ? a) [a(b ? c ? a) ? b(c ? a ? b) ? c(a ? b ? c)] ? 0 , 即 abc (b ? c ? a ) (b ? c ? a ) 2 [2ab ? a 2 ? b 2 ? c 2 ] ? 0 ,即 [c ? ( a ? b ) 2 ] ? 0 , 即 abc abc (b ? c ? a) (c ? a ? b)(c ? a ? b) ? 0 , 即 abc 所以 b ? c ? a ? 0 或 c ? a ? b ? 0 或 c ? a ? b ? 0 ,即 b ? a ? c 或 c ? a ? b 或 c ? b ? a .
即 因此,以 a , b , c 为三边长可构成一个直角三角形,它的最大内角为 90°.

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