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1991—2015年全国初中数学联赛试题【附答案】71


32 ? 2a 32 ? 2b 32 ? 2c 1 ? ? ? , bc ca ab 4 1 2 2 2 变形,得 1024 ? 2(a ? b ? c ) ? abc ③ 4
解法 2 结合①式,由②式可得 又由①式得 (a ? b ? c)2 ? 1024 ,即 a2 ? b2 ? c2 ? 1024 ? 2(ab ? bc ? ca) , 代入③式,得 1024 ? 2[1024 ? 2( ab ? bc ? ca)] ? 即 abc ? 16(ab ? bc ? ca) ? 4096 .

1 abc , 4

(a ?16)(b ?16)(c ?16) ? abc ?16(ab ? bc ? ca) ? 256(a ? b ? c) ?163
? ?4096 ? 256 ? 32 ? 163 ? 0 ,
所以 a ? 16 或 b ? 16 或 c ? 16 . 结合①式可得 b ? a ? c 或 c ? a ? b 或 c ? b ? a . 因此,以 a , b , c 为三边长可构成一个直角三角形,它的最大内角为 90°.

1991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇

2010 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第一试
一、选择题: (本题满分 42 分,每小题 7 分) 1. 若 a, b, c 均为整数且满足 (a ? b)10 ? (a ? c)10 ? 1 ,则 | a ? b | ? | b ? c | ? | c ? a |? A.1. B.2. C.3. D.4. ( C ) ( B )

2.若实数 a, b, c 满足等式 2 a ? 3| b |? 6 , 4 a ? 9 | b |? 6c ,则 c 可能取的最大值为 A.0. B.1. C.2. D.3.

3.若 a , b 是两个正数,且 A. 0 ? a ? b ?
2

1 . 3

a ?1 b ?1 ? ? 1 ? 0, 则 ( C ) b a 1 4 4 B. ? a ? b ? 1 . C. 1 ? a ? b ? . D. ? a ? b ? 2 . 3 3 3
4 2

4.若方程 x ? 3x ? 1 ? 0 的两根也是方程 x ? ax ? bx ? c ? 0 的根,则 a ? b ? 2c 的值为 ( A ) A.-13. B.-9. C.6. D. 0. ED ? DB ? CE , 5. 在△ ABC 中, 已知 ?CAB ? 60? , D, E 分别是边 AB, AC 上的点, 且 ?AED ? 60? , ?CDB ? 2?CDE ,则 ?DCB ? ( B ) A.15°. B.20°. C.25°. D.30°. 6.对于自然数 n ,将其各位数字之和记为 an ,如 a2009 ? 2 ? 0 ? 0 ? 9 ? 11, a2010 ? 2 ? 0 ? 1 ? 0 ? 3 ,

a1 ? a2 ? a3 ? ?? a2009 ? a2010 ?
A.28062. B.28065. C.28067. 二、填空题: (本题满分 28 分,每小题 7 分)

( D ) D.28068.

? x3 ? y 3 ? 19, 1.已知实数 x , y 满足方程组 ? 则 x2 ? y 2 ? ? x ? y ? 1,
2

13

.

2.二次函数 y ? x ? bx ? c 的图象与 x 轴正方向交于 A,B 两点,与 y 轴正方向交于点 C.已知

AB ? 3 AC , ?CAO ? 30? ,则 c ?

1 9

3.在等腰直角△ABC 中,AB=BC=5,P 是△ABC 内一点,且 PA= 5 ,PC=5,则 PB= ___ 10 ___. 4.将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行,要求两种颜色的球都要出现,且任意中间夹有 5 个或 10 个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放,最多可以摆放____15___个球.

第二试 (A)
一 .( 本 题 满 分 20 分 ) 设 整 数 a, b, c ( a ? b ? c ) 为 三 角 形 的 三 边 长 , 满 足

1991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇

a 2 ? b2 ? c2 ? ab ? ac ? bc ? 13 ,求符合条件且周长不超过 30 的三角形的个数.
解 由已知等式可得

(a ? b)2 ? (b ? c)2 ? (a ? c)2 ? 26
令 a ? b ? m, b ? c ? n ,则 a ? c ? m ? n ,其中 m, n 均为自然数. 于是,等式①变为 m2 ? n2 ? (m ? n)2 ? 26 ,即

m2 ? n2 ? mn ? 13
由于 m, n 均为自然数,判断易知,使得等式②成立的 m, n 只有两组: ?

?m ? 3, ?m ? 1, 和? ?n ? 3. ?n ? 1

(1)当 m ? 3, n ?1 时,b ? c ? 1 , a ? b ? 3 ? c ? 4 .又 a, b, c 为三角形的三边长,所以 b ? c ? a , 即 (c ? 1) ? c ? c ? 4 , 解 得 c ? 3 . 又 因 为 三 角 形 的 周 长 不 超 过 30 , 即

a? b? c (?

c 4? )

c? ? ( c ? 1 ) ,解得 ? c ? 3 0

25 25 .因此 3 ? c ? ,所以 c 可以取值 4,5,6,7,8, 3 3

对应可得到 5 个符合条件的三角形.

, n ?3 时,b ? c ? 3 , a ? b ? 1 ? c ? 4 .又 a, b, c 为三角形的三边长,所以 b ? c ? a , (2)当 m ? 1
即 (c ? 3) ? c ? c ? 4 , 解 得 c ? 1 . 又 因 为 三 角 形 的 周 长 不 超 过 30 , 即

a ? b ? c( ?

c 4? )

c? ? ( c ? 3 ) ,解得 ? c ? 3 0

23 23 .因此 1 ? c ? ,所以 c 可以取值 2,3,4,5,6,7, 3 3

对应可得到 6 个符合条件的三角形. 综合可知:符合条件且周长不超过 30 的三角形的个数为 5+6=11. 二. (本题满分 25 分)已知等腰三角形△ABC 中,AB=AC,∠C 的平分线与 AB 边交于点 P,M 为△ABC 的内切圆⊙I 与 BC 边的切点,作 MD//AC,交⊙I 于 点 D.证明:PD 是⊙I 的切线. A 证明 过点 P 作⊙I 的切线 PQ(切点为 Q)并延长,交 BC 于点 N. P 因为 CP 为∠ACB 的平分线,所以∠ACP=∠BCP. I 又因为 PA、PQ 均为⊙I 的切线,所以∠APC=∠NPC. Q 又 CP 公共,所以△ACP≌△NCP,所以∠PAC=∠PNC. 由 NM=QN, BA=BC, 所以△QNM∽△BAC, 故∠NMQ B M N =∠ACB,所以 MQ//AC. 又因为 MD//AC,所以 MD 和 MQ 为同一条直线. 又点 Q、D 均在⊙I 上,所以点 Q 和点 D 重合,故 PD 是⊙I 的切线. 三. (本题满分 25 分) 已知二次函数 y ? x ? bx ? c 错误! 未找到引用源。 的图象经过两点 P (1, a ) ,
2

C

Q (2,10a) .

1991-2014 年全国初中数学联赛试题总汇

(1)如果 a, b, c 都是整数,且 c ? b ? 8a ,求 a, b, c 的值. (2)设二次函数 y ? x 2 ? bx ? c 错误!未找到引用源。的图象与 x 轴的交点为 A、B,与 y 轴的交 点为 C.错误!未找到引用源。如果关于 x 的方程 x ? bx ? c ? 0 的两个根都是整数,求△ABC 的面积.
2

点 P (1, a ) 、 Q (2,10a) 在二次函数 y ? x2 ? bx ? c错误!未找到引用源。的图象上,故

1 ? b ? c ? a , 4 ? 2a ? c ? 10a , 解得 b ? 9a ? 3 , c ? 8a ? 2 .
(1)由 c ? b ? 8a 知 ?

?8a ? 2 ? 9a ? 3, 解得 1 ? a ? 3 . ?9a ? 3 ? 8a,

又 a 为整数,所以 a ? 2 , b ? 9a ? 3 ? 15 , c ? 8a ? 2 ? 14 . (2) 设错误!未找到引用源。 m, n 是方程的两个整数根,且 m ? n .

mn ? ?c ? 2 ? 8a , n ? 8 (m ? n) ?? 6 由根与系数的关系可得 m ? n ? ?b ? 3 ? 9a , 消去 a , 得 9m
两边同时乘以 9,得 81mn ? 72(m ? n) ? ?54 ,分解因式,得 (9m ? 8)(9n ? 8) ? 10 .

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